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利用者:Geld.F/sandbox/加法

初等的な算術としての加法

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1桁の自然数の加法

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次の表のようになる。

+ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
3 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
4 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
5 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
6 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
7 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
8 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
9 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

2桁以上の自然数の加法

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小数の加法

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分数の加法

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負の数を含む加法

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形式的な定義

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自然数

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整数

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負の整数を含む加法については、先述の「負の数を含む加法」に従って定義すればよい。

整数の異なる定義の仕方としては、N2 上で定義される同値関係 ~:(m, n) ~ (m', n') ⇔ m + n' = m' + nによる商集合 N2/~ を整数全体の集合とみなすものがある。ここで、 (m, n)m - n を意味している。このとき、

と定義すれば、この定義は先述の定義と一致する。

有理数

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形式的に

と定義される。

実数

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実数の構成法にはデデキント切断を用いるものとコーシー列を用いるものがあるが、いずれの方法で定義された加法も同値となる。

デデキント切断による構成

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コーシー列による構成

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(an)n, (bn)n をそれぞれ有理数上で定義されたコーシー列とする。このとき、 (an + bn)n もコーシー列である。また、(an)n ~ (bn)n ⇔ limn→∞(anbn) = 0 として同値関係 ~ を定めれば、

複素数

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一般化された加法

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合同算術

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ベクトル

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行列・テンソル

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関数

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p-進数

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濃度

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一般に濃度における加法では消去律が成り立たない。

順序数

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一般に順序数における加法では可換律が成り立たない。