コンテンツにスキップ

英文维基 | 中文维基 | 日文维基 | 草榴社区

利用者:HOTUMA/カゾラーティの定理

最大値の原理

[編集]

最大値の原理(maximum modulus principle)は、複素平面の有界な閉部分空間で正則な複素関数の絶対値が最大となる点がの境界上に在ることを主張する定理である。の内部をで、の境界をで表すと、

である。ここで等号が成立するのはが定数である場合に限られる。また、最大値の原理の系として、が根を持たなければも正則であるから、が最大となる点、即ち、が最小となる点も境界上に在るといえる。

証明1

[編集]

コーシー積分

証明2

[編集]

テイラー展開

証明3

[編集]

開写像定理の系

ルーシェの定理

[編集]

ルーシェの定理(Rouché's theorem)は、複素解析関数が領域の境界上で常にであれば、その内部にあるの根との根が同数であることを主張する複素解析の定理である。正確に述べると、が複素平面の単連結領域内で正則であり、単純閉曲線上で常にであれば、その内部にあるの根との根が重複度を考慮して同数であることを主張する。