利用者:HOTUMA/算術級数定理

ZZZ

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$a\in {A}$	$\chi _{0}(a)$	$\chi _{1}(a)$	$\chi _{2}(a)$	$\chi _{3}(a)$	$\chi _{4}(a)$	$\chi _{5}(a)$
1	1	1	1	1	1	1
2	1	2	4	5	7	8
4	1	4	7	7	4	1
5	1	5	7	2	4	8
7	1	7	4	4	7	1
8	1	8	1	8	1	8

対数をとると

${\begin{aligned}\log {L(s,\chi )}&=-\sum _{p}\log(1-\chi (p)p^{-s})\\&=\sum _{p}\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {\chi (p^{m})}{mp^{ms}}}\\\end{aligned}}$

となるが

$\left|\sum _{p}\sum _{m=2}^{\infty }{\frac {\chi (p^{m})}{mp^{ms}}}\right|\leq {\frac {1}{2}}\sum _{p}\sum _{m=2}^{\infty }{\frac {1}{p^{ms}}}={\frac {1}{2}}\sum _{p}{\frac {1}{p^{2s}(1-p^{-s})}}\leq {\frac {1}{2}}\zeta (2s)$

であるから

$\log {L(s,\chi )}=\sum _{p}{\frac {\chi (p)}{p^{s}}}+O(1)\qquad (s\to {1+0})$

である。

可換群の指標

可換群$A$から複素数の乗法群への準同型写像$\chi _{i}$を可換群の指標(characteristic)という。可換群の指標の個数は可換群の位数に等しい。可換群の指標は、複素数の乗法により、もとの可換群と同型の群を成す。例えば、法9の既約剰余類{1,2,4,5,7,8}が成す群の指標は、$h={\tfrac {1+{\sqrt {3}}i}{2}}$として

$a\in {A}$	$\chi _{0}(a)$	$\chi _{1}(a)$	$\chi _{2}(a)$	$\chi _{3}(a)$	$\chi _{4}(a)$	$\chi _{5}(a)$
1	1	1	1	1	1	1
2	1	h	h2	h5	h4	h3
4	1	h2	h4	h4	h2	1
5	1	h5	h4	h	h2	h3
7	1	h4	h2	h2	h4	1
8	1	h3	1	h3	1	h3

である。定義により$\chi _{i}(a_{j})\chi _{i}(a_{k})=\chi _{i}(a_{j}a_{k})$が成り立つ。$\chi _{0}(a)=1$は単位指標である。他の添字の値は意味を持たず、$\chi _{1},\chi _{2},\chi _{3},\chi _{4},\chi _{5}$の代わりに$\chi _{a},\chi _{e},\chi _{i},\chi _{o},\chi _{u}$などとしても何ら問題はない。