利用者:Hymath/sandbox/下書き3

数学において、測地（距離）空間（そくちきょりくうかん、英: geodesic (metric) space）とは任意の二点が長さが距離に等しいような曲線（測地線）で結べる距離空間のことである。

定義

(X , d ) を距離空間 [a , b ] を閉区間とし、γ : [a , b ] → X をその間の連続写像とする。このとき γ が

• 任意の t , s ∈ [a , b ] について、d (γ(s) , γ(t)) := |s - t|

を満たすとき、γ を（γ(a) , γ(b) を結ぶ）（弧長によってパラメータ付けされた）測地線（英: geodesic (curve)）であるという。

距離空間の任意の二点が測地線で結べるとき、その距離空間を測地空間と呼ぶ。特に各二点を結ぶ測地線が一つづつしか存在しないとき、一意的測地空間（英: uniguely geodesic space）という。

基本性質

• 測地空間は弧長空間。
• 測地空間の任意の二点は中点を持つ。逆に完備距離空間において任意の二点が中点を持てばその空間は測地空間である。
• 測地空間の完備化は測地空間とは限らない。
• 距離空間に関するホップ・リノウの定理から、完備で局所コンパクトな弧長距離空間は固有な測地空間となる。
• 完備な凸距離空間は測地。

例

• ユークリッド空間は測地空間である。
• ユークリッド空間内の球面へのユークリッド距離の制限は測地距離でない。ユークリッド距離から誘導される球面上の弧長距離は大円距離と等しく、これは大円の弧を測地線とする測地空間になる。
• リーマン多様体ないしもっと一般にフィンスラー多様体の標準的な距離は弧長距離空間。