利用者:I.hidekazu/ルイス＝トルマンの非ニュートン力学

特殊相対性理論（とくしゅそうたいせいりろん、独: Spezielle Relativitätstheorie、英: Special relativity）とは、アルベルト・アインシュタインが1905年に発表した電磁気学の理論である。特殊相対論と呼ばれる事もある。

概説[編集]

19世紀末頃において、マックスウェル方程式は当時観測可能な電磁気現象をほとんど説明したが、その理論の前提として電場と磁場はエーテルなる絶対空間に固定された媒質を介して伝わるものであるとされていた^[1]。つまりはマックスウェル方程式はエーテルに対して静止した座標系から観測される電磁気現象を記述する理論であった^[2]。素朴な疑問としてエーテルに対して運動している座標系から観測される電磁気現象の理論とマックスウェル方程式との関係が探られた。ヘルツ、フィッツジェラルド、ローレンツ、ポアンカレなど^[3]はいくつかの理論を提唱したが、運動する物体が実際に収縮する（ローレンツ）^[4]などの現実には受け入れがたい理論であった。それらとはほぼ独立にアルベルト・アインシュタインは「Zur Elektrodynamik bewegter Körper 」（「運動している物体の電気力学について」^[5]）において、特殊相対性原理と光速不変の原理というものを導入することで運動座標系における電磁気現象を簡潔に静止座標系におけるマックスウェル方程式に帰着させる理論を提唱した。その理論が特殊相対性理論である。特殊相対性理論により絶対座標系（エーテルの存在）は否定され、その理論的帰結として磁場は電場の相対論効果である^[6]^[7]ことが示唆された。

特殊相対性原理^[8]: 電気力学と光学（電磁波）^[9]についての法則が、力学の方程式が成り立つようなすべての座標系に対して成り立つ^[10]
光速不変の原理: 光（電磁波）は真空中を、光源の運動状態のいかんにかかわらず一定の速度 c で伝わっていく

なお、この理論に「特殊」とつけるのは、後に発表されることになる一般相対性理論と区別するためである。この特殊相対性理論の発表から10年後にアインシュタインは、一般座標系まで含む理論である一般相対性理論を発表することになる。

特殊相対性理論の誕生のいきさつ[編集]

マックスウェル方程式が精確に成り立つある慣性系を K 系、それに対して -v の速度で等速直線運動をしているある慣性系を V 系と呼ぶ事にする。V 系からは v の速度で運動する K 系の電磁気現象を観察する事になる。

ここで、K 系の時刻及び座標を t , x , y , z と表記し、同様に V 系におけるものを τ , ξ , η , ζ と表記することとする。 K 系の x 軸と V 系の ξ 軸は平行であるとし、V 系は K 系に対して -v で等速直線運動しているが t = 0 のとき V 系の原点は K 系の原点に一致するものとする。

運動媒質中における電磁場理論の探索[編集]

19世紀末ごろにおいて、エーテルに対して静止しているという理想的な座標系^[11]（K 系）においてはマックスウェル方程式は余分な摂動項無しに成り立つものとされたが、エーテルに対して運動している座標系においてはマックスウェル方程式はどの程度修正されて成立されるものかわからなかった。

運動座標系（V系）における電磁場の方程式を導出するにあたり、ヘルツは単純に K 系のマックスウェル方程式をガリレイ変換

\xi =x-vt

,

\tau =t

させることで運動座標系（V 系）における電磁場の方程式を導出した^[12]が Wilson や Röntgen-Eichenwald の実験によって否定された^[13]。

ローレンツは局所時間（local time）と呼ばれるものを導入し^[14]、時間項を修正したガリレイ変換

\xi =x-vt

,

\tau =t-(v/c^{2})x

を適用することでうまく Wilson や Röntgen-Eichenwald の実験に合致する電磁場の方程式を導出した^[15]。

ところで、 Wilson や Röntgen-Eichenwald の実験は $\beta =v/c$ の一次の項までの効果に関するものであった。当然ローレンツの時間項を修正したガリレイ変換によって導出された電磁場の方程式は $\beta$ の一次の項まで正しいものであったが、 $\beta ^{2}$ に比例する効果を確かめるための実験であったマイケルソン・モーリーの実験（Michelson-Morley experiment）^[16]の結果とは食い違いがあり結局否定された。マイケルソン・モーリーの実験に合致する運動座標系における電磁場の方程式を導出する変換として、ローレンツ^[17]とフィッツジェラルド（FitzGerald）はそれぞれ独立にエーテルに対して運動する物体は $1/{\sqrt {1-\beta ^{2}}}$ の割合で実際に縮む^[18]という仮定（これをローレンツ−フィッツジェラルド収縮と呼ぶ^[19]）を持つ変換

\xi ={{x-vt} \over {\sqrt {1-\beta ^{2}}}}

,

\tau ={t-(v/c^{2})x \over {\sqrt {1-\beta ^{2}}}}

を導入した。この変換をローレンツ変換（Lorentz transformation）と呼ぶ^[20]。

これは数学上の形式的な変換としては特殊相対性理論におけるものと同じであり、計算結果も同じとなるが

運動する物体が実際に縮む^[21]
局所時間の物理的解釈ができない^[22]

などその物理的解釈としては大いに不満の残るものであった。

絶対座標系（エーテルの存在）に基づく電磁場理論の非対称性とその解消[編集]

ローレンツらによる運動座標系における電磁場理論の探索の一方、そもそもマックスウェル方程式にはその前提からして根本的におかしな点があった。

例えば、棒磁石とコイルによる電磁誘導現象において、コイルを固定し棒磁石を動かすときにコイルに流れる電流の原因は、マックスウェル方程式の電磁誘導の法則から起電力が発生するためと説明される。ところが、棒磁石を固定してコイルを動かすときのコイルに流れる電流の原因は、電子に対してローレンツ力が働くためと説明される。

このように棒磁石とコイルの相対運動だけで定まる現象であるにもかかわらず、古典的な電磁気学は観測する系によってその現象を説明する理論が異なるという非対称な体系であった^[23]。理論の非対称性の解消に関心のあった^[24]アルベルト・アインシュタインは互いに等速直線運動をする座標系で観測される同一の現象は理論として同一の形式であるべきという前提のもとでこの非対称性を解消する理論を提唱した^[25]。

特殊相対性原理と座標変換不変量としての光速[編集]

アインシュタインの理論において骨子となるのはマックスウェル方程式の座標系ごとの非対称性を解消とすることを目的とした特殊相対性原理（special principle of relativity）である。

以降、E（電場 [V/m]）と B（磁束密度 [Wb/m²]または[T]）を電磁場の基本物理量とし、D（電束密度 [A・s/m²]）及び H（磁場の強さ [A/m]）は E、B から派生する副次的な量であるという立場を取る^[26]^[27]。さらに、単位系はMKSA単位系をとるものとする^[28]。

ここで、代表的な例として K 系から真空中の電磁波（光）を測定することを考える。真空中の電磁波の波動方程式はマックスウェル方程式から

{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}{\mathbf {E}}}{\partial t^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}{\mathbf {E}}}{\partial x^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}{\mathbf {E}}}{\partial y^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}{\mathbf {E}}}{\partial z^{2}}}={\mathbf {0}}

{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}{\mathbf {B}}}{\partial t^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}{\mathbf {B}}}{\partial x^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}{\mathbf {B}}}{\partial y^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}{\mathbf {B}}}{\partial z^{2}}}={\mathbf {0}}

と定式化される。一方、V 系においても同じ電磁波（光）を測定し定式化したならば、上記方程式において K 系の変数 t, x, y, z ではなく V 系の変数 τ, ξ, η, ζ を用いて立てた方程式が、上記と同一の形式を持つ

{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}{\mathbf {E}}}{\partial \tau ^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}{\mathbf {E}}}{\partial \xi ^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}{\mathbf {E}}}{\partial \eta ^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}{\mathbf {E}}}{\partial \zeta ^{2}}}={\mathbf {0}}

{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}{\mathbf {B}}}{\partial \tau ^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}{\mathbf {B}}}{\partial \xi ^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}{\mathbf {B}}}{\partial \eta ^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}{\mathbf {B}}}{\partial \zeta ^{2}}}={\mathbf {0}}

にならなければならない^[29]^[30]とするのが特殊相対性原理の主張である。このような座標系（t, x, y, z）から座標系（τ, ξ, η, ζ）への座標変換はローレンツの導入したローレンツ変換と形式的に一致する。ところで、上式中の真空中の電磁波（光）の速さ c も座標変換により c + δc というように摂動項 δc が付与されてしまうと、偏微分の項と異なりその摂動項を相殺する項が存在しない。そのため、この電磁波の波動方程式が特殊相対性原理を満たすためには、真空中の電磁波（光）の速さ c は座標変換に対して不変（invariant）であるとしなくてはならない。このように真空中の光の速さ c を座標変換不変量として扱うことを光速不変の原理（principle of invariant light speed）と呼ぶ。

光の伝搬法則上の時間概念[編集]

一つの慣性系に属する点の位置座標は、物理的には、原点を基点としたその点までの測量によって定義するほかない。また、その点がある位置にいる時間^[31]は、位置の確認とともにその位置にある時計の時刻を原点から確認することによってこちらも定義するよりない。しかも、時計の時刻を確認するために使えるような『瞬間的に到達する信号』が存在しないということから、実際的・現実的には、この時計の時刻を原点から確認する確実な手段としては電磁波（光）を用いるほか無い^[32]。

さらに、光速不変の原理から、これは原点からの距離が無視できないような点に置かれた時計の時刻確認にはそのまま用いることができないことを意味する（例えば、普通の電波時計^[33]はグリニッジ天文台の中継局である送信局からのタイムコードを受信して時刻を修正するが、送信局-電波時計間の距離が非常に遠くなると光の速さの有限性から普通の電波時計では時刻のズレが発生してくる^[34]）。

特殊相対性理論の数理[編集]

ミンコフスキによるローレンツ変換[編集]

「ローレンツ変換」も参照

K 系において 0 秒時点でK系の原点 O からK系のある点 P へ光線が真空中を t 秒で伝わっていくとする。r をこれら２点間を測量した距離とすると、光の伝搬は、

r = c・t

という方程式を満たす。この方程式を二乗し、r² を各座標成分 x, y, z を用いて表せば、この方程式の代わりに K 系から光の伝搬を観測した方程式

c^{2}t^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}=0

が得られる。これは光源が運動していることになる V 系から観測しても同様であり、同一の現象について V 系から光の伝搬を観測した方程式

c^{2}\tau ^{2}-\xi ^{2}-\eta ^{2}-\zeta ^{2}=0

が成り立つ^[35]。このような上式で与えらえる量を両立させる各慣性座標系間の座標変換（基底変換）をローレンツ変換と呼ぶ。

純虚数回転によるローレンツ変換の導出[編集]

特殊相対性理論におけるローレンツ変換を具体的に導出するにあたって、 K 系における実の時間座標 t の代わりに、虚の時間座標

x₀ = ict

を導入する。なお、他の K 系の座標について、x = x₁、y = x₂、z = x₃ とする^[36] 。

このとき上記の不変な方程式は（正負を反対にして）

\sum _{i=0}^{3}x_{i}^{2}=x_{0}^{2}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=0

と書くことができるようになる。

ここで、全く形式的に虚の時間座標が入った x₀ x₁ 平面において ψ だけ回転する変換を考える^[37]。

その座標変換の結果 V 系の座標として ξ₀ , ξ₁ が得られたとすると ξ₀ , ξ₁ と x₀ , x₁ の関係は、形式的に、

{\begin{pmatrix}\xi _{0}\\\xi _{1}\\\end{pmatrix}}=R(\psi ){\begin{pmatrix}x_{0}\\x_{1}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos \psi &-\sin \psi \\\sin \psi &\cos \psi \\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{0}\\x_{1}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x_{0}\cos \psi -x_{1}\sin \psi \\x_{0}\sin \psi +x_{1}\cos \psi \\\end{pmatrix}}

となる。この方程式を物理的に解釈するために角 ψ の代わりに、実時間 t と、V系の K系に対する速度 v を用いて表す。V系の原点に対しては、つまり ξ₁ = 0 に対しては、x₁ = vt でなければならないから、上の ξ₁ に関する方程式から、

0=vt\cos \psi +ict\sin \psi

\tan \psi =i{\frac {v}{c}}=i\beta

が得られる。したがって、

\cos \psi ={\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}},\;\;\sin \psi ={\frac {i\beta }{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}

となる。よって、x₁ = ξ , x₂ = η , x₃ = ζ に表記を戻した上で、ローレンツ変換

\xi ={\frac {x-vt}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}},\;\;\;\eta =y,\;\;\;\zeta =z,\;\;\;\tau ={\frac {t-({{v}/{c^{2}}})x}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}

が得られる^[38]^[39]。

ミンコフスキ空間[編集]

四つの基底（e₀, e₁, e₂, e₃）を持つ線型空間 M の任意の元 w = (ct, x, y, z) に対してそのノルム ||w|| を

\|w\|={\sqrt {(ct)^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}}}

で定めるとき、ノルム空間 M をミンコフスキ空間（Minkowski space）と呼ぶ。距離関数 d を d(v, w) = ||v - w|| と定義すれば、ミンコフスキ空間の任意の二点間の距離を変えない基底変換（等長変換）はローレンツ変換となる。なお、ミンコフスキ空間はノルム空間ではあっても内積空間ではないので角度の概念はない。

四元速度[編集]

K 系においてある質点の速度（v_x, v_y, v_z）の等速直線運動を、電磁波測距儀を用いて測量・時刻算出した上で、ミンコフスキ空間上の点としてプロットするとする。それら点を繋げて得られる軌跡 α の各点において、その質点の（ミンコフスキ空間における）速度を定義することができる。この四つの成分からなる単位速度 u =（u⁰, u¹, u², u³）をその質点のミンコフスキ空間上の四元速度（four-velocity）と呼ぶ。

α 上の適当な基点 O からある点 P までの α の長さを s とすると、点 O における α の接線ベクトル T は

T={\frac {\mathrm {d} \alpha (s)}{\mathrm {d} s}}

と定義できる。なお、s の定義より ||T|| = 1 である。ここで、K 系における座標表示を求めるために変数変換を行うと

T={\frac {\mathrm {d} \alpha (s)}{\mathrm {d} s}}={\frac {\mathrm {d} \alpha (t)}{\mathrm {d} t}}\cdot {\frac {\mathrm {d} t}{\mathrm {d} s}}={\frac {\mathrm {d} \alpha (t)}{\mathrm {d} t}}/{\frac {\mathrm {d} s}{\mathrm {d} t}}

となり、

{\frac {\mathrm {d} \alpha (t)}{\mathrm {d} t}}=(ct,v_{x},v_{y},v_{z})

、

{\frac {\mathrm {d} s}{\mathrm {d} t}}={\sqrt {c^{2}-v_{x}^{2}-v_{y}^{2}-v_{z}^{2}}}=c{\sqrt {1-\beta ^{2}}}

　ただし、v = ||(v_x, v_y, v_z)||、β = v/c

であることから、

T={\frac {1}{c{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}}(ct,v_{x},v_{y},v_{z})={\frac {\gamma }{c}}(ct,v_{x},v_{y},v_{z})

ただし、

\gamma =1/{\sqrt {1-\beta ^{2}}}

が得られる。物理的にも速度の次元を持たせるために、質点の四元速度 u を u = cT と定義すれば、K 系の座標表示としての四元速度は

u=(\gamma ct,\gamma v_{x},\gamma v_{y},\gamma v_{z})

となる。なお、定義より ||u|| = c である。

特殊相対性理論から導かれる帰結[編集]

この項においては、注目する物体の速度 ${\boldsymbol {v}}={\frac {d{\boldsymbol {x}}}{dt}}$ について $\beta ={\frac {v}{c}},\gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}$ と定義する。

磁場は電場の相対論効果である[編集]

特殊相対性理論以前の電磁気学においては、電磁気現象とは電場（electric field）と磁場（magnetic field）と呼ばれるいくつかの関係式は満たすもののそれぞれ独立した物理的存在からなる現象であるとされる。ところが、特殊相対性理論は、磁場とは異なる座標系から測定した電場にすぎないことを示唆する。

定常電流が作る磁場の発見の経緯

1820年にエルステッドは、電流の流れる導線のそばに置かれていた磁針が動くことを発見した。その発見を聞いたビオとサバールは、定常電流が流れる直線上の導線のまわりに生じた磁場の強さを測ることで、定常電流の周りの磁束密度の強さ B は、電流の強さ I に比例し、導線からの距離 r に反比例することを発見した^[40]。すなわち、

B(r)={\frac {\mu _{0}}{2\pi }}{\frac {I}{r}}

が成り立つことを実証した^[41]。二人はこの結果からビオ・サバールの法則を導きだした。

電流とは自由電子の運動であることを思い出せば、これら電磁気学において基本的な電流と磁場の間の関係は、導線を「測定者に対して静止した座標系」、電流を「一定間隔を保ったまま導線に対してドリフト速度 v で等速直線運動する自由電子群の座標系」とみなした一つの特殊相対性理論の問題としても解釈できることがわかる^[42]。

運動量保存則とエネルギー保存則は四元運動量保存則としてまとめられる[編集]

特殊相対性理論以前の力学において、運動量保存則とエネルギー保存則は質点の運動を解析するにあたっての重要な保存則であるが、それぞれ異なった内容の保存則であると考えられてきた。ところが、ミンコフスキ空間を導入した特殊相対性理論においては、それらは一つの保存則として統一されることになる。

（慣性）質量とエネルギーは等価[編集]

特殊相対性理論以前の電磁気学において、JJ. トムソン、ワルター・カウフマンによって電子の質量の速さ依存性が指摘されていた。それを説明する理論としてマックス・アブラハムは、電子の慣性質量の起源を全て電磁場に求めるという電磁質量概念（electromagnetic mass）を提唱したが、電子以外の物質の構成要素に対して一般化することができなかった^[43]。一方、特殊相対性理論はその物質の質量の速さ依存性についての一般的な説明と慣性質量とエネルギーに関する普遍的な関係を与える^[44]。

E = mc² の導出

前項で得た四元速度のノルムの平方を考えると、 $u^{\mu }=\gamma {\frac {dx^{\mu }}{dt}}$ であることから、 $u^{\mu }\eta _{\mu \nu }u^{\nu }=-(u^{0})^{2}+(u^{1})^{2}+(u^{2})^{2}+(u^{3})^{2}=-c^{2}$ 。これより、特に四元運動量について

$p^{\mu }\eta _{\mu \nu }p^{\nu }=-(p^{0})^{2}+(p^{1})^{2}+(p^{2})^{2}+(p^{3})^{2}=-(mc)^{2}$

が得られる。これを固有時で微分することで、 $2p^{\mu }\eta _{\mu \nu }{\frac {dp^{\mu }}{d\tau }}=0$ となるが、成分ごとに書き下すと

$f^{0}p^{0}=f^{1}p^{1}+f^{2}p^{2}+f^{3}p^{3}$

となる。 $p^{\mu }=mu^{\mu }$ および $v^{0}=\gamma c$ に注意すると、

${\frac {dp^{0}}{d\tau }}=f^{0}={\frac {1}{\gamma c}}(f^{1}u^{1}+f^{2}u^{2}+f^{3}u^{3})$

であるが、左辺は $p^{0}$ の固有時での増加率であり、右辺は ${\frac {1}{\gamma }}$ を相対論的効果による補正と解釈すると、仕事率をcで除したものと解釈される。従って、 $p^{0}$ はエネルギーをcで除したものと解釈するのが自然と考えられる。

事実、v≪cであるときはテイラー展開することにより、

$cp^{0}=m\gamma c^{2}\simeq mc^{2}+{\frac {1}{2}}mv^{2}$

が得られ、この第二項はニュートン力学でいう運動エネルギーになっている。また、質量欠損や核反応・対消滅から、質量を持つ物質は $mc^{2}$ のエネルギーを持つことが確かめられている。この第一項（v=0つまりγ=1であれば $cp^{0}$ そのもの）は静止エネルギーと呼ばれる。

ここで、光速で移動する有限のエネルギーを持った粒子を考える。この時、 $m\gamma c^{2}$ のγが無限大に発散してしまうので、m=0でなければならない。この逆も成立するため、質量を持たずに有限のエネルギーを持つ物質は常に光速で走り続けねばならず、また光速で移動するエネルギーを持つ物質はすべて質量が0であることが分かる。

電子や光量子の運動方程式[編集]

ニュートンの運動方程式 $m{\frac {d^{2}x_{i}}{dt^{2}}}=F_{i}$ は左辺に $t={\frac {x^{0}}{c}}$ での微分を含むため、ローレンツ変換に対して不変ではない。従って、ローレンツ変換を受ける時間の代わりに、固有時を用いて微分する。

四元速度を $u^{\mu }={\frac {dx^{\mu }}{d\tau }}$ （特に $u^{0}=\gamma c$ である）、四元加速度を $a^{\mu }={\frac {d^{2}x^{\mu }}{d\tau ^{2}}}$ とすると、相対論的運動方程式は

$ma^{\mu }=m{\frac {d^{2}x^{\mu }}{d\tau ^{2}}}=f^{\mu }$

と表せる。また、四元運動量 $p^{\mu }=mu^{\mu }$ を用いて、

${\frac {dp^{\mu }}{d\tau }}=f^{\mu }$

と書くこともできる。この項の右辺は四元力とよばれる。相対論においても作用・反作用の法則の成立は仮定されるので、四元運動量は保存する。

実際には固有時を用いた計算は煩雑なので、観測者にとっての時間を用いて計算することが多い。即ち、 $dt=\gamma d\tau$ を用いて

$\gamma {\frac {dp^{\mu }}{dt}}=f^{\mu }$
$p^{\mu }=m\gamma {\frac {dx^{\mu }}{dt}}$

である。

なお、四元速度・四元加速度・四元運動量は全て位置ベクトルにローレンツ不変量を乗じたり、ローレンツ不変量で微分したりしたものであるので、更にそれと等しい四元力も加え、これらはすべて反変ベクトルとなる。つまり、これらは位置ベクトルと同じ変換を受け、S系で見た位置xとS'系で見た位置x'が

$x'^{\mu }={\Lambda ^{\mu }}_{\nu }x^{\nu }$

で結ばれれば、

$u'^{\mu }={\Lambda ^{\mu }}_{\nu }u^{\nu }$
$a'^{\mu }={\Lambda ^{\mu }}_{\nu }a^{\nu }$
$p'^{\mu }={\Lambda ^{\mu }}_{\nu }p^{\nu }$
$f'^{\mu }={\Lambda ^{\mu }}_{\nu }f^{\nu }$

もまた成立する。

特殊相対性理論の実験的検証[編集]

特殊相対性理論は、次のような事象からも検証されている。

電場と磁場の統一理論としての特殊相対性理論の検証^[45]

電流が流れる電線の周りに磁場が生じる。

いわゆる時計の時刻の遅れの検証

横方向のドップラー効果の測定（赤道上の時計の遅れの実験）^[46]

メスバウアー効果を起こす放射線源とその吸収体について、放射線源を回転する円盤の中心に、吸収体を円周に配置して回転させるとメスバウアー効果が発生しなくなる^[47]^[48]。

ハフェル-キーティング実験（Hafele–Keating experiment）

航空機で運んだ原子時計と地上で静止したままの原子時計との間に発生するズレが理論と誤差の範囲で一致する^[49]。なお、この実験における相対論効果は

特殊相対性理論における運動によるいわゆる時計の遅れ、
一般相対性理論における重力偏移によるいわゆる時計の遅れ、
サニャック効果（Sagnac effect）

の3つが複合して現れる^[50]。

粒子の平均寿命の延長

宇宙線の衝突により発生する非常に寿命の短い粒子が、単純に光速度程度で移動したと考えても数百メートル程度しか移動できないはずであるのに、地上で観測することができる。また、粒子加速器で粒子を光速近くまで加速すると、崩壊するまでの寿命が延びる。なお、この寿命の延びは厳密に特殊相対性理論による予測に従う。
質量とエネルギーの等価性

オットー・ハーンは核分裂を発見したが、この反応の際の質量欠損により、大量のエネルギーが放出された。この放出は特殊相対性理論の帰結のひとつである質量とエネルギーの等価性 E=mc² において欠損相当の質量に換算される原子核内部の核子の結合エネルギーである。

ほか

光速近くまで加速した電子等の荷電粒子を磁場によって曲げると、放射光と呼ばれる光が発生する。この光は特殊相対性理論の効果により前方に集中し、粒子軌道の接線方向への極めて指向性の高い光となる。

一般相対性理論へ[編集]

特殊相対性理論は重力のない状態での慣性系を取り扱った理論である。

後にアインシュタインは空間のゆがみとして重力場をも組み込んだ、より一般的な理論である一般相対性理論を発表した。この理論はアイザック・ニュートンの万有引力論を全面的に書き換えるものになった。

特殊相対性理論と一般相対性理論の2つの理論をあわせて相対性理論と呼ばれる。

脚注[編集]

^ これは、電磁気学の理論設計に当たって流体力学を参考にしていたためであると思われる。実際、電磁気学はベクトル解析、ストークスの定理など流体力学と共通する手法が多い。
^ ローレンツ-ポアンカレの理論ではその前提がはっきりと示されている。広重(1967) p72
^ 後藤（1970） p.386-388、砂川（1999）
^ 混同されやすいが特殊相対性理論では実際に収縮するのではなく、同時である状態が座標系によって異なる（位置のみならず運動状態によっても同時性が異なる）ため収縮して観測されるとされる
^ 矢野（1991）原論文訳 p.180-226
^ ファインマン電磁気学（1986） p.12(原書該当部分 magnetism is in reality a relativistic effect of electricity) , 遠藤(2013)
^ たびたび、特殊相対性理論は物体が光速に近い速度ではないとその効果が観測されないと言われることがあるが、例えば電流の速度（電子のドリフト速度）は秒速1mm程度と光速からはかなり遅いが磁場として日常的に観測されている。
^ 矢野（1991）原論文訳 p.182
^ もともと光学と電磁気学は別の学問であったが、光が電磁波であることがわかると光学は電磁気学の一部としてあつかわれるようになった。ローレンツ電子論などは特にその電磁気学としての光学の傾向が強い。
^ このような表現であるのは、力学についてはエルンスト・マッハによって絶対空間モデルがすでに否定されていたためである。逆に電磁気学についてはエーテルを仮定していたため絶対空間のモデルが用いられていた。
^ ローレンツはこのようなエーテルに対して静止している系のことをそのまま『静止している系』または『静止系』と呼んだ。ローレンツ電子論
^ Hertz, Heinrich (1890b), Über die Grundgleichungen der Elektrodynamik für bewegte Körper 『運動物体に対する電気力学の基本方程式について』、その内容については砂川（1999）が詳しい。
^ 広重（1980）『世代交代期における電磁理論』、後藤（1970）、砂川（1999）
^ ただし、ローレンツは局所時間をあくまで形式的なものだとした。
^ Lorentz, Hendrik Antoon (1895), Versuch einer Theorie der electrischen und optischen Erscheinungen in bewegten Körpern
^ マイケルソン・モーリー（1887）
^ Lorentz, Hendrik Antoon (1904b), Electromagnetic phenomena in a system moving with any velocity smaller than that of light （光速以下の速度で運動している系における電磁現象）
^ ローレンツ電子論 p.214。ローレンツとポアンカレの理論によれば物体が縮むのはエーテルの影響である。そのため、エーテルの存在を捨てた特殊相対性理論においては当然運動する物体が実際に収縮するということはない。特殊相対性理論においては運動する物体が現実に収縮するのではなく、運動している座標系における同時の状態を静止している座標系では同時の状態として観測できず、同時からずれた状態を観測することに起因する。
^ 特殊相対性理論では物体が実際に縮むという意味のローレンツ−フィッツジェラルド収縮はしない。ローレンツの理論との混同を招き紛らわしいので特殊相対性理論では用いない方が良い用語である。
^ この変換に対して最初にローレンツ変換という名称をあたえたのはポアンカレである。ポアンカレ（1905）『la transformation de Lorentz』
^ ローレンツが提唱した時点ですでに楕円体に変形した電子の安定性についてマックス・アブラハムから批判が出ていた。ローレンツ電子論 p.235
^ 実際、アインシュタインの理論を認めたローレンツはローレンツ電子論 p.360 において『わたくしが誤った主な原因は、変数 t だけが真の時間と見なしうるのであって、わたくしの局所時 t ' は補助的な数学的な量以上のものと見なしてはならないという観念を固守していたことである。それに反して、Einsteinの理論では t' は t と同じ役を果たす。』（t' はこの節におけるτである）と述懐している。
^ 現代においても特殊相対性理論抜きの電磁気学では同じように不自然な説明をするよりない。
^ 広重（1971）
^ A.Einstein (1905), Zur Elektrodynamik bewegter Körper 「運動している物体の電気力学について」矢野（1991）原論文訳 p.180-226
^ 歴史的には特殊相対性理論によって磁荷というものが実在せず、磁場の源は電流であると考えられることとなったことから D、H は副次的なものという扱いになった。砂川（1977） p.181
^
なお、
- 細野敏夫『メタ電磁気学』森北出版（株）、1999年。ISBN 462773431X。
はこの立場を実例とともに非常に強く打ち出している。
^ なお、特殊相対性理論の原論文はCGS単位系である。
^ 現代から考えれば当たり前であるが、ヘルツは運動座標系においてはヘルツ項なるものが必要であると主張したりしており、当時は当たり前ではなかった。ヘルツ項については砂川（1999）が詳しい。
^ すなわち、ダランベルシアン $\Box _{c}$ が不変となるような変換でなくてはならない。
^ 「時間」という曖昧なことばの曖昧さを解消するため以下のように定義する。
※ 矢野（1991）原論文訳 p.183-186の文意を損なわないようにしたものの、かなり大きく編集を加えた。
定義（地点 A の時間）

「地点 A の時間」とは以下を意味する
地点 A に置かれた時計の示す時刻（注：「置かれた」という表現に特に深い意味は無い）

定義（地点 A において、時間 t に事象 P が発生した）

「地点 A において、時間 t に事象 P が発生した」とは以下を意味する
地点 A に置かれた時計が t の時刻を示したという事象と、A （の近傍）で発生した事象 P は、同時に確認された事象である（A の近傍において同時に観測された事象である）。

以上の定義から曖昧さを含む「時間」という言葉は「時計の示す時刻」と「同時」という物理的に精確な言葉に置き換えられる。なお、時計の置かれている地点近傍で発生した二つの事象の同時の判断は日常における同時の判断と同一である。

問題は、日常の直感から離れてしまう時計から（近傍とは言えない）離れた場所で発生した事象の同時の判断である。
^ 相対論の意味 p.30
^ 普通の電波時計の仕組みについては岩間(2011) 参照。ただし、この特殊なグリニッジ電波時計については、一つのタイムコードを送信するのにかかる時間は（その実現可能性は一旦保留とし）一瞬であるとする。
^ 普通の電波時計の時刻合わせを用いた際の問題点
例えば、普通の電波時計の送信局が地点 P、普通の電波時計が地点 Q に置かれているものとする。PQ間の距離が 60(s) × c(km/s) ≒ 1800万km ほど離れていると、例えば送信局から 00:00:00 のタイムコードが普通の電波時計に送信されてもその到達には 60秒 = 1分かかる。つまり、普通の電波時計の時刻合わせの方式では、地点 Q では送信局 P の時刻の表示より時刻が1分遅れる。

もしこの時刻合わせの方式を採用してしまうと、地点 P で時刻 00:00:00 のときに電波を放った場合、1800万km 離れた地点 Q には Q の時刻で 00:00:00 のときに電波が到着することになってしまう。これは、Q 地点で記録を取っていた人が P 地点まで戻って P の記録と突き合わせを行うと時間差 0 秒で電波が届く事になってしまい、光速不変の原理に反する。

このため、この方式で時刻を合わせた場合、P で 00:00:00 に発生した事象と Q で 00:00:00 に発生した事象は同時に発生した事象であるとは言う事ができない（つまり時計は合っていない）。

同時とするためには、この地点 P と地点 Q 間の時刻のずれは PQ間の距離が精確に60×c kmと判明しているならば、Q の時計に 60秒の補正（60秒進めること）を行えばよいが、異なる地点間の距離が不明、またはその他の理由から時刻の遅延が発生する場合は、このような補正を行う事は不可能である。そのため、そのような2点間の距離が既知であることに依存した補正ではない、普遍的な補正方法で時刻修正を行わなくてはならない。
^ なお、K系V系の座標系設定の前提から、K系の 0 秒時点において、K系の原点はV 系の原点に一致する。
^ さらに、V 系の座標について ξ = ξ₁、η = ξ₂、ζ = ξ₃、icτ = ξ₀とする。
^ なお、空間内の x₁ x₂ 座標が軸の周りに φ だけ反時計周りに回転した単なる回転による座標変換の場合は以下のようになる。
座標変換の結果 x'₁ x'₂ 座標が得られたとする。すると、 x'₁ , x'₂ 座標と x₁ , x₂ との関係について
${\begin{aligned}{\begin{pmatrix}x_{1}'\\x_{2}'\\\end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}x_{1}\cos \phi -x_{2}\sin \phi \\x_{1}\sin \phi +x_{2}\cos \phi \\\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}\cos \phi &-\sin \phi \\\sin \phi &\cos \phi \\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\end{pmatrix}}\\&=R(\phi ){\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\end{pmatrix}}\end{aligned}}$

ただし、 $R(\phi )={\begin{pmatrix}\cos \phi &-\sin \phi \\\sin \phi &\cos \phi \\\end{pmatrix}}$
が得られる。ここで、R(φ) について ${}^{t}R(\phi )R(\phi )=I_{2}$ が成り立つことから、
${\begin{aligned}x_{1}'^{2}+x_{2}'^{2}&={\begin{pmatrix}x_{1}'&x_{2}'\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}'\\x_{2}'\\\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}x_{1}&x_{2}\\\end{pmatrix}}{}^{t}R(\phi )R(\phi ){\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}x_{1}&x_{2}\\\end{pmatrix}}I_{2}{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\end{pmatrix}}=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\end{aligned}}$
が導かれるが、これは x₁ x₂ x₃ 座標における x₃ 軸周りの回転による変換がローレンツ変換であることを意味している。
ただ、これは明らかに特殊相対性理論としては意味がない。特殊相対性理論において意味があるのは、虚の時間座標 x₀ が関わる形式的な回転座標変換である。
^ ξ₀についての導出
${\begin{aligned}\xi _{0}&=x_{0}\cos \psi -x_{1}\sin \psi ={\frac {x_{0}}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}-{\frac {i\beta x_{1}}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}\\&={\frac {x_{0}-i\beta x_{1}}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}\end{aligned}}$
$\xi _{0}=ic\tau ,x_{0}=ict$ より
$ic\tau ={\frac {(ict)-i\beta x_{1}}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}$

$\tau ={\frac {t-(v/c^{2})x_{1}}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}$
となる。ξ₁ についての導出
${\begin{aligned}\xi _{1}&=x_{0}\sin \psi +x_{1}\cos \psi ={\frac {i\beta x_{0}}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}+{\frac {x_{1}}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}\\&={\frac {i\beta x_{0}+x_{1}}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}={\frac {i\beta (ict)+x_{1}}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}={\frac {x_{1}-vt}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}\\\end{aligned}}$
となる。
^ 参考としてガリレイ変換と対比させると

${\begin{aligned}t'&=t\\x'&=x-vt\\y'&=y\\z'&=z\end{aligned}}$

となり、速度が充分遅い場合はガリレイ変換をローレンツ変換の近似として用いることができることがわかる。
^ 砂川(1977) p.136
^ なお、電流は流れてはいないものの帯電した無限に長いと見なせる電線は似たような関係を満たす電場を作る。
直線導線に一様に分布した電荷の作る電場
単位長さあたり電荷密度 λ [A・s/m] に帯電している無限に長い電線から距離 r 離れた点における電場の強さ E は、
$E(r)={\frac {1}{2\pi \epsilon _{0}}}{\frac {\lambda }{r}}$
で求めることができる。後藤(1970) p.17
^ このような解釈をしてまとまった結果を与えている有名なものとしては、ファインマン電磁気学(1986) 13-6,7 pp.166-172 がある。原書該当部分
他、遠藤(2014)も詳しい。
^ 質量の電磁気学的概念（電磁質量概念）の詳細とその発展については、ヤンマー(1977)第１１章を参照。
^ この関係は論文「Ist die Trägheit eines Körpers von seinem Energieinhalt」（「物体の慣性は、そのエネルギーの大きさに依存するか」）によって見出されたと言われる。ただし、この論文における E = mc² の導出は循環論法になっているといわれる。ヤンマー(1977) pp.156-157
^ アインシュタインは一般相対性理論においては重力と慣性力を統一（等価原理）し、さらに晩年は電磁力と重力の統一を目指した統一理論を研究していた。
^ 矢野(1991) p.201。当初はアインシュタインにより地球の極と赤道上の実験として提案されたが、メスバウアー効果の発見により、実験室に配置した円盤上で検証可能となった。
^ H. J. Hay, J. P. Schiffer, T. E. Cranshaw, and P. A. Egelstaff (1960), Measurement of the Red Shift in an Accelerated System Using the Mössbauer Effect in Fe57, Atomic Energy Research Establishment, Harwell, England , 相対性理論と量子力学の誕生(1972) 第7,8章
^ 他にも検証不可能だと思われていた一般相対性理論の検証もメスバウアー効果の発見によって可能となった。たとえば、重力偏移によるいわゆる時計の遅れなどについても既に検証されている。パウンド-レブカ実験（Pound–Rebka experiment）など。
^ 当時の映像
^ GPS（Global Positioning System ; 全地球測位システム）も同様にこの3つの効果が現れるため、その分補正を行なわなくてはならない。ジョーンズ(2001) pp.184-193

参考文献[編集]

全般

H.A.ローレンツ著、広重徹(訳) 編『ローレンツ電子論』1973年。
M.ボルン, W.ビーム著、瀬谷正男(訳) 編『アインシュタインの相対性原理』講談社、1971年。
メラー著、永田恒夫, 伊藤大介(訳) 編『相対性理論』みすず書房、1959年。
矢野健太郎『アインシュタイン』講談社〈講談社学術文庫〉、1991年。
アインシュタイン著、矢野健太郎(訳) 編『相対論の意味附：非対称場の相対論』岩波書店、1958年。
砂川重信『理論電磁気学』（第3版）紀伊國屋書店、1999年。
砂川重信『電磁気学』（新装版(1987)）岩波書店、1977年。
後藤憲一著、山崎修一郎編『詳解電磁気学演習』1970年。
広重徹 (1971), 相対論はどこから生まれたか, http://ci.nii.ac.jp/naid/110002072547 （広重徹著、西尾成子（編）編『相対論の形成 −広重徹科学史論文集−』みすず書房、1980年。）
ファインマン著、宮島龍興(訳) 編『ファインマン物理学〈3〉電磁気学』岩波書店、1986年。
遠藤雅守『電磁気学初めて学ぶ電磁場理論』森北出版、2013年。
遠藤雅守『史上最強図解これならわかる! 電磁気学』ナツメ社、2014年。
広重徹『物理学史Ⅱ』培風館、1967年。ISBN 4563024066。

時刻合わせ、電磁波測距儀、いわゆる時計の遅れの実験について

アインシュタイン、シュレディンガーほか著、谷川安孝, 中村誠太郎, 青木昌三(訳) 編『相対性理論と量子力学の誕生』〈現代物理の世界〉1972年。
トニー・ジョーンズ著、松浦俊輔(訳) 編『原子時間を計る―300億分の1秒物語』青土社、2001年。原書
須田教明『電磁波測距儀』（改訂版）森北出版、1976年。
Michelson, Albert Abraham & Morley, Edward Williams (1887), On the Relative Motion of the Earth and the Luminiferous Ether
岩間司 (2011), 電波時計のしくみ, 通信ソサエティマガジン, 電子情報通信学会

その他参照

国立天文台編『理科年表』（平成25年版）、2012年。
恒藤敏彦『弾性体と流体』岩波書店〈物理入門コース 8〉、1983年。ISBN 4000076485。
マックス・ヤンマー著、大槻義彦, 葉田野義和, 斉藤威(訳) 編『質量の起源』講談社、1977年。
Albert Einstein, Hermann Minkowski (1920). Meghnad Saha, Satyendranath Bose (translate). ed. The principle of relativity; original papers
H.Poincaré (1905), Sur la dynamique de l'électron

The Sagnac Effect: An Experimentum Crucis in Favor of the Aether?

この２つの仮定を基にルイスはおおむね次のような論理でエネルギーと質量の関係を導き出した。

物体がエネルギーを受け取る時間率を ${\frac {\mathrm {d} E}{\mathrm {d} t}}$ 、輻射圧を $f$ 、光の速さを $c$ とすると、マックスウェルおよびボルツマンの導いた結果により、

f={\frac {1}{c}}{\frac {\mathrm {d} E}{\mathrm {d} t}}

が成り立つ。また、物体が受け取る運動量を $p$ とすると、その時間率は物体が受け取る力に等しいので ${\frac {\mathrm {d} p}{\mathrm {d} t}}=f$ であり、

{\frac {\mathrm {d} p}{\mathrm {d} t}}={\frac {1}{c}}{\frac {\mathrm {d} E}{\mathrm {d} t}}

を得る。さらに、一般に運動量は質量と速度の積で表されることから、ルイスは、質量 $m$ を持つ光線の任意の部分の運動量 $p$ は、 $p=mc$ で与えられるとし、光線を吸収する物体の運動量の時間率は、

{\frac {\mathrm {d} p}{\mathrm {d} t}}=c{\frac {\mathrm {d} m}{\mathrm {d} t}}

となるとした。したがって、

{\frac {\mathrm {d} m}{\mathrm {d} t}}={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\mathrm {d} E}{\mathrm {d} t}}

が導かれる。これを時間に関して積分すれば、

m+m_{0}={\frac {E+E_{0}}{c^{2}}}

となる。ここで、初期状態において物体がその全エネルギーを失えば（ $E_{0}=0$ ）、その全質量を失う（ $m_{0}=0$ ）と仮定できることから、アインシュタインによるエネルギーと質量の関係と同じ関係

m={\frac {E}{c^{2}}}

つまり、 $E=mc^{2}$ が導かれる。

[1] これは、電磁気学の理論設計に当たって流体力学を参考にしていたためであると思われる。実際、電磁気学はベクトル解析、ストークスの定理など流体力学と共通する手法が多い。

[2] ローレンツ-ポアンカレの理論ではその前提がはっきりと示されている。広重(1967) p72

[3] 後藤（1970） p.386-388、砂川（1999）

[4] 混同されやすいが特殊相対性理論では実際に収縮するのではなく、同時である状態が座標系によって異なる（位置のみならず運動状態によっても同時性が異なる）ため収縮して観測されるとされる

[5] 矢野（1991）原論文訳 p.180-226

[6] ファインマン電磁気学（1986） p.12(原書該当部分 magnetism is in reality a relativistic effect of electricity) , 遠藤(2013)

[7] たびたび、特殊相対性理論は物体が光速に近い速度ではないとその効果が観測されないと言われることがあるが、例えば電流の速度（電子のドリフト速度）は秒速1mm程度と光速からはかなり遅いが磁場として日常的に観測されている。

[8] 矢野（1991）原論文訳 p.182

[9] もともと光学と電磁気学は別の学問であったが、光が電磁波であることがわかると光学は電磁気学の一部としてあつかわれるようになった。ローレンツ電子論などは特にその電磁気学としての光学の傾向が強い。

[10] このような表現であるのは、力学についてはエルンスト・マッハによって絶対空間モデルがすでに否定されていたためである。逆に電磁気学についてはエーテルを仮定していたため絶対空間のモデルが用いられていた。

[11] ローレンツはこのようなエーテルに対して静止している系のことをそのまま『静止している系』または『静止系』と呼んだ。ローレンツ電子論

[12] Hertz, Heinrich (1890b), Über die Grundgleichungen der Elektrodynamik für bewegte Körper 『運動物体に対する電気力学の基本方程式について』、その内容については砂川（1999）が詳しい。

[13] 広重（1980）『世代交代期における電磁理論』、後藤（1970）、砂川（1999）

[14] ただし、ローレンツは局所時間をあくまで形式的なものだとした。

[15] Lorentz, Hendrik Antoon (1895), Versuch einer Theorie der electrischen und optischen Erscheinungen in bewegten Körpern

[16] マイケルソン・モーリー（1887）

[17] Lorentz, Hendrik Antoon (1904b), Electromagnetic phenomena in a system moving with any velocity smaller than that of light （光速以下の速度で運動している系における電磁現象）

[18] ローレンツ電子論 p.214。ローレンツとポアンカレの理論によれば物体が縮むのはエーテルの影響である。そのため、エーテルの存在を捨てた特殊相対性理論においては当然運動する物体が実際に収縮するということはない。特殊相対性理論においては運動する物体が現実に収縮するのではなく、運動している座標系における同時の状態を静止している座標系では同時の状態として観測できず、同時からずれた状態を観測することに起因する。

[19] 特殊相対性理論では物体が実際に縮むという意味のローレンツ−フィッツジェラルド収縮はしない。ローレンツの理論との混同を招き紛らわしいので特殊相対性理論では用いない方が良い用語である。

[20] この変換に対して最初にローレンツ変換という名称をあたえたのはポアンカレである。ポアンカレ（1905）『la transformation de Lorentz』

[21] ローレンツが提唱した時点ですでに楕円体に変形した電子の安定性についてマックス・アブラハムから批判が出ていた。ローレンツ電子論 p.235

[22] 実際、アインシュタインの理論を認めたローレンツはローレンツ電子論 p.360 において『わたくしが誤った主な原因は、変数 t だけが真の時間と見なしうるのであって、わたくしの局所時 t ' は補助的な数学的な量以上のものと見なしてはならないという観念を固守していたことである。それに反して、Einsteinの理論では t' は t と同じ役を果たす。』（t' はこの節におけるτである）と述懐している。

[23] 現代においても特殊相対性理論抜きの電磁気学では同じように不自然な説明をするよりない。

[24] 広重（1971）

[25] A.Einstein (1905), Zur Elektrodynamik bewegter Körper 「運動している物体の電気力学について」矢野（1991）原論文訳 p.180-226

[26] 歴史的には特殊相対性理論によって磁荷というものが実在せず、磁場の源は電流であると考えられることとなったことから D、H は副次的なものという扱いになった。砂川（1977） p.181

[27] なお、
細野敏夫『メタ電磁気学』森北出版（株）、1999年。ISBN 462773431X。
はこの立場を実例とともに非常に強く打ち出している。

[28] 細野敏夫『メタ電磁気学』森北出版（株）、1999年。ISBN 462773431X。

[28] なお、特殊相対性理論の原論文はCGS単位系である。

[29] 現代から考えれば当たり前であるが、ヘルツは運動座標系においてはヘルツ項なるものが必要であると主張したりしており、当時は当たり前ではなかった。ヘルツ項については砂川（1999）が詳しい。

[30] すなわち、ダランベルシアン $\Box _{c}$ が不変となるような変換でなくてはならない。

[31] 「時間」という曖昧なことばの曖昧さを解消するため以下のように定義する。
※ 矢野（1991）原論文訳 p.183-186の文意を損なわないようにしたものの、かなり大きく編集を加えた。
定義（地点 A の時間）

「地点 A の時間」とは以下を意味する
地点 A に置かれた時計の示す時刻（注：「置かれた」という表現に特に深い意味は無い）

定義（地点 A において、時間 t に事象 P が発生した）

「地点 A において、時間 t に事象 P が発生した」とは以下を意味する
地点 A に置かれた時計が t の時刻を示したという事象と、A （の近傍）で発生した事象 P は、同時に確認された事象である（A の近傍において同時に観測された事象である）。

以上の定義から曖昧さを含む「時間」という言葉は「時計の示す時刻」と「同時」という物理的に精確な言葉に置き換えられる。なお、時計の置かれている地点近傍で発生した二つの事象の同時の判断は日常における同時の判断と同一である。

問題は、日常の直感から離れてしまう時計から（近傍とは言えない）離れた場所で発生した事象の同時の判断である。

[32] 相対論の意味 p.30

[33] 普通の電波時計の仕組みについては岩間(2011) 参照。ただし、この特殊なグリニッジ電波時計については、一つのタイムコードを送信するのにかかる時間は（その実現可能性は一旦保留とし）一瞬であるとする。

[34] 普通の電波時計の時刻合わせを用いた際の問題点
例えば、普通の電波時計の送信局が地点 P、普通の電波時計が地点 Q に置かれているものとする。PQ間の距離が 60(s) × c(km/s) ≒ 1800万km ほど離れていると、例えば送信局から 00:00:00 のタイムコードが普通の電波時計に送信されてもその到達には 60秒 = 1分かかる。つまり、普通の電波時計の時刻合わせの方式では、地点 Q では送信局 P の時刻の表示より時刻が1分遅れる。

もしこの時刻合わせの方式を採用してしまうと、地点 P で時刻 00:00:00 のときに電波を放った場合、1800万km 離れた地点 Q には Q の時刻で 00:00:00 のときに電波が到着することになってしまう。これは、Q 地点で記録を取っていた人が P 地点まで戻って P の記録と突き合わせを行うと時間差 0 秒で電波が届く事になってしまい、光速不変の原理に反する。

このため、この方式で時刻を合わせた場合、P で 00:00:00 に発生した事象と Q で 00:00:00 に発生した事象は同時に発生した事象であるとは言う事ができない（つまり時計は合っていない）。

同時とするためには、この地点 P と地点 Q 間の時刻のずれは PQ間の距離が精確に60×c kmと判明しているならば、Q の時計に 60秒の補正（60秒進めること）を行えばよいが、異なる地点間の距離が不明、またはその他の理由から時刻の遅延が発生する場合は、このような補正を行う事は不可能である。そのため、そのような2点間の距離が既知であることに依存した補正ではない、普遍的な補正方法で時刻修正を行わなくてはならない。

[35] なお、K系V系の座標系設定の前提から、K系の 0 秒時点において、K系の原点はV 系の原点に一致する。

[36] さらに、V 系の座標について ξ = ξ₁、η = ξ₂、ζ = ξ₃、icτ = ξ₀とする。

[37] なお、空間内の x₁ x₂ 座標が軸の周りに φ だけ反時計周りに回転した単なる回転による座標変換の場合は以下のようになる。
座標変換の結果 x'₁ x'₂ 座標が得られたとする。すると、 x'₁ , x'₂ 座標と x₁ , x₂ との関係について
${\begin{aligned}{\begin{pmatrix}x_{1}'\\x_{2}'\\\end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}x_{1}\cos \phi -x_{2}\sin \phi \\x_{1}\sin \phi +x_{2}\cos \phi \\\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}\cos \phi &-\sin \phi \\\sin \phi &\cos \phi \\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\end{pmatrix}}\\&=R(\phi ){\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\end{pmatrix}}\end{aligned}}$

ただし、 $R(\phi )={\begin{pmatrix}\cos \phi &-\sin \phi \\\sin \phi &\cos \phi \\\end{pmatrix}}$
が得られる。ここで、R(φ) について ${}^{t}R(\phi )R(\phi )=I_{2}$ が成り立つことから、
${\begin{aligned}x_{1}'^{2}+x_{2}'^{2}&={\begin{pmatrix}x_{1}'&x_{2}'\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}'\\x_{2}'\\\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}x_{1}&x_{2}\\\end{pmatrix}}{}^{t}R(\phi )R(\phi ){\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}x_{1}&x_{2}\\\end{pmatrix}}I_{2}{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\end{pmatrix}}=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\end{aligned}}$
が導かれるが、これは x₁ x₂ x₃ 座標における x₃ 軸周りの回転による変換がローレンツ変換であることを意味している。
ただ、これは明らかに特殊相対性理論としては意味がない。特殊相対性理論において意味があるのは、虚の時間座標 x₀ が関わる形式的な回転座標変換である。

[38] ξ₀についての導出
${\begin{aligned}\xi _{0}&=x_{0}\cos \psi -x_{1}\sin \psi ={\frac {x_{0}}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}-{\frac {i\beta x_{1}}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}\\&={\frac {x_{0}-i\beta x_{1}}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}\end{aligned}}$
$\xi _{0}=ic\tau ,x_{0}=ict$ より
$ic\tau ={\frac {(ict)-i\beta x_{1}}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}$

$\tau ={\frac {t-(v/c^{2})x_{1}}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}$
となる。ξ₁ についての導出
${\begin{aligned}\xi _{1}&=x_{0}\sin \psi +x_{1}\cos \psi ={\frac {i\beta x_{0}}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}+{\frac {x_{1}}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}\\&={\frac {i\beta x_{0}+x_{1}}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}={\frac {i\beta (ict)+x_{1}}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}={\frac {x_{1}-vt}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}\\\end{aligned}}$
となる。

[39] 参考としてガリレイ変換と対比させると

${\begin{aligned}t'&=t\\x'&=x-vt\\y'&=y\\z'&=z\end{aligned}}$

となり、速度が充分遅い場合はガリレイ変換をローレンツ変換の近似として用いることができることがわかる。

[40] 砂川(1977) p.136

[41] なお、電流は流れてはいないものの帯電した無限に長いと見なせる電線は似たような関係を満たす電場を作る。
直線導線に一様に分布した電荷の作る電場
単位長さあたり電荷密度 λ [A・s/m] に帯電している無限に長い電線から距離 r 離れた点における電場の強さ E は、
$E(r)={\frac {1}{2\pi \epsilon _{0}}}{\frac {\lambda }{r}}$
で求めることができる。後藤(1970) p.17

[42] このような解釈をしてまとまった結果を与えている有名なものとしては、ファインマン電磁気学(1986) 13-6,7 pp.166-172 がある。原書該当部分
他、遠藤(2014)も詳しい。

[43] 質量の電磁気学的概念（電磁質量概念）の詳細とその発展については、ヤンマー(1977)第１１章を参照。

[44] この関係は論文「Ist die Trägheit eines Körpers von seinem Energieinhalt」（「物体の慣性は、そのエネルギーの大きさに依存するか」）によって見出されたと言われる。ただし、この論文における E = mc² の導出は循環論法になっているといわれる。ヤンマー(1977) pp.156-157

[45] アインシュタインは一般相対性理論においては重力と慣性力を統一（等価原理）し、さらに晩年は電磁力と重力の統一を目指した統一理論を研究していた。

[46] 矢野(1991) p.201。当初はアインシュタインにより地球の極と赤道上の実験として提案されたが、メスバウアー効果の発見により、実験室に配置した円盤上で検証可能となった。

[47] H. J. Hay, J. P. Schiffer, T. E. Cranshaw, and P. A. Egelstaff (1960), Measurement of the Red Shift in an Accelerated System Using the Mössbauer Effect in Fe57, Atomic Energy Research Establishment, Harwell, England , 相対性理論と量子力学の誕生(1972) 第7,8章

[48] 他にも検証不可能だと思われていた一般相対性理論の検証もメスバウアー効果の発見によって可能となった。たとえば、重力偏移によるいわゆる時計の遅れなどについても既に検証されている。パウンド-レブカ実験（Pound–Rebka experiment）など。

[49] 当時の映像

[50] GPS（Global Positioning System ; 全地球測位システム）も同様にこの3つの効果が現れるため、その分補正を行なわなくてはならない。ジョーンズ(2001) pp.184-193

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