利用者:I.hidekazu/集合代数

集合代数（algebra of sets）とは、普遍集合（universal set）の部分集合からなる集合族における集合演算を演算とする代数を言う。

定義[編集]

集合 I の部分集合からなる集合族 R について以下

（合併集合の存在）S , T ∈ R のとき、S ∪ T ∈ R

（共通部分の存在）S , T ∈ R のとき、S ∩ T ∈ R

を満たすとき、すなわち集合族が束を成すとき＜R ; ∪ , ∩＞を集合環（ring of sets）と呼ぶ。

集合 I の部分集合からなる集合族 F が集合環＜F ; ∪ , ∩＞であって以下条件

（普遍集合の存在）I ∈ F

（空集合の存在） φ ∈ F

（補集合の存在）任意の S ∈ F に対して、S ∪ S' = I かつ S ∩ S' = φ を満たす集合 S' ∈ F を持つ

を満たすとき、＜F ; ∪ , ∩ , I , φ , '＞を集合体（field of sets）と呼ぶ。

集合体＜F ; ∪, ∩, I, φ, '＞がσ完備束を成すとき、σ集合体（σ-field of sets）と呼ぶ。

集合 I の部分集合からなる集合族 O が集合環＜O ; ∪ , ∩＞かつ

普遍集合 I を持つ I ∈ O

空集合 φ を持つ φ ∈ O

∪完備である。すなわち、任意の部分集合族 X ⊆ O に対して ∪(X) ∈ O

を満たすとき、すなわち ∪完備集合環＜O ; ∪ , ∩ , I , φ＞を成すとき、O を開集合族（class of open sets）と呼び、普遍集合 I との組＜I , O ; ∪ , ∩ , I , φ＞を位相空間（order topological space）と呼ぶ。

同様に、集合 I の部分集合からなる集合族 C が ∩完備集合環＜C ; ∪ , ∩ , I , φ＞を成すとき、C を閉集合族（class of closed sets）と呼び、やはり普遍集合 I との組を位相空間と呼ぶ。

なお、σ集合体は開かつ閉な位相空間であり、開集合の補集合は閉集合となる。