利用者:Knotopologynn/Knotopologynn の微分方程式の部屋

Knotopologynn のメモ

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非線型常微分方程式は多くの場合，求積法では解けません(積分できません)．ここに載せるのは，積分できる珍しい非線型常微分方程式です．　

一階非線型常微分方程式

一階非線型常微分方程式（その１）

$y=xp+x^{n}\!f(p),\quad \quad {\Bigl (}p={\frac {dy}{dx}}{\Bigr )}$

$\displaystyle n$ は実数、$\displaystyle f$ は既知関数（任意関数）とする。上記の、一階非線型常微分方程式の一般解は、$\displaystyle C$ を積分定数とし、$\displaystyle p$ を媒介変数として次式で与えられる。

一般解(1). ${\bigl (}n\neq 0,\quad n\neq 1$ の場合 ${\bigr )}$

$x={\Bigl \{}f(p){\Bigr \}}^{-1/n}{\Bigl \{}C+{\frac {1-n}{n}}\int {\Bigl \{}f(p){\Bigr \}}^{-1/n}dp{\Bigr \}}^{1/(n-1)},\qquad y=xp+x^{n}f{\big (}p{\big )}.$

一般解(2). ${\bigl (}n=1$ の場合${\bigr )},\quad (C\neq 0)$

$x={\frac {C}{f(p)}}\exp {\Bigl \{}-\int {\frac {dp}{f(p)}}{\Bigr \}},\qquad y=x{\bigl (}p+f(p){\bigr )}.$

一般解(3). ${\bigl (}n=0$ の場合 ${\bigr )}$

$\displaystyle n=0$ の場合は、Clairaut（クレロー）型の常微分方程式、

$y=xp+f{\big (}p{\big )}$

に帰着する。

一階非線型常微分方程式（その２）

求積法で解ける一階非線型常微分方程式の例を以下に記述する。

例１．$y=xp+y^{n}f(p)$, $\left(p={\frac {{d}y}{{d}x}}\right)$．　 n は実数，f は既知関数。

例２．${\frac {{d}y}{{d}x}}={\frac {\,y^{1-m}\,}{x^{1-n}}}f\!\left({\frac {y^{m}}{x^{n}}}\right)$．　 m, n は実数，ただし，m ≠ 0，f は既知関数。

二階非線型常微分方程式

二階非線型常微分方程式（その２）

$y=x{\frac {dy}{dx}}+x^{n}f\!\left(x^{2-n}\cdot {\frac {d^{\,2}y}{dx^{2}}}\right)$

$\displaystyle n$ は実数、$\displaystyle f$ は既知関数（任意関数）とする。上記の、二階非線型常微分方程式の一般解は、$C_{1},\;C_{2}$を積分定数として次式で与えられる。

一般解 ( $\displaystyle n\neq 2$ )

$\displaystyle x=g(t),\qquad y=C_{2}+\int \left[{\frac {d\,g(t)}{dt}}\left\{C_{1}+\int \left(t\cdot {\Big (}g(t){\Big )}^{n-2}\cdot {\frac {d\,g(t)}{dt}}\right)dt\right\}\right]dt,$

$g(t)=\exp \left\{-\int \left({\frac {1}{\;t+nf(t)\;}}\cdot {\frac {d\,f(t)}{dt}}\right)dt\right\}.$

二階非線型常微分方程式（その３）

求積法で解ける二階非線型常微分方程式の例を以下に記述する。

(１)．$x{\frac {{d}^{2}y}{{d}x^{2}}}+(\alpha +\gamma {}y^{n}){\frac {{d}y}{{d}x}}=0$．　　α, γ, n は実数．ただし，n ≠ −1 。

(２)．$x{\frac {{d}^{2}y}{{d}x^{2}}}+{\Bigl (}\alpha +{\frac {\,\gamma \,}{y}}{\Bigr )}{\frac {{d}y}{{d}x}}=0$．　　α, γ は実数。

(３)．${\frac {{d}^{2}y}{{d}x^{2}}}+{\frac {d}{{d}y}}({\mbox{ln}}[f(y)])\left({\frac {{d}y}{{d}x}}\right)^{\!\!2}+P(x){\frac {{d}y}{{d}x}}={\frac {Q(x)}{f(y)}}$．　 P(x), Q(x), f(y) は既知関数，${\mbox{ln}}$ は自然対数。

(４)．$y=x{\frac {{d}y}{{d}x}}+f(x)\left({\frac {{d}^{2}y}{{d}x^{2}}}\right)^{\!\!n}$．　 nは実数， f(x) は既知関数。

(５)．$y=x{\frac {{d}y}{{d}x}}+f\!\left({\frac {{d}^{2}y}{{d}x^{2}}}\right)$．　 f は既知関数。

(６)．$x{\frac {{d}^{2}y}{{d}x^{2}}}+(1+f(y)){\frac {{d}y}{{d}x}}=0$．　 f(y) は既知関数。

(７)．${\frac {{d}^{2}y}{{d}x^{2}}}=f\!\left({\frac {\alpha +\beta {x}+\gamma {y}}{k+\ell {x}+my}}\right)$．　　α, β, γ, k, l, m は実数， f は既知関数。