利用者:Kurosuke88/ストルツ＝チェザロの定理

シュトルツ＝チェザロの定理 (- のていり、英語: Stolz–Cesàro theorem) とは、数学における数列の収束性 (en) を証明するための定理である。定理の名前はオーストリアの数学者オットー・シュトルツ (en) とイタリアの数学者アーネスト・チェザロ (en) に因む。単にシュトルツの定理といわれることもある。

シュトルツ＝チェザロの定理はチェザロ和あるいはチェザロ平均の一般化とみなすことができる。 また、関数の不定形極限計算ためのロピタルの定理の数列版と考えることもできる。

定理

$\{a_{n}\}_{n\geq 1}$ と $\{b_{n}\}_{n\geq 1}$ を実数の数列とする。 $b_{n}$ が単調増加で非有界であり、極限、

$\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}=\ell$

が存在すれば、

$\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=\ell$

である。

証明

$\varepsilon >0$ に対する差分商の収束値が存在するような $N\!$ を仮定すると、 全ての $k>N\!$ に対する添字 $k\!$ を持つ差分商を仮定する。 すると、全ての $k\!$ での $\eta _{k}\!$ に対して

$a_{k}-a_{k-1}=(b_{k}-b_{k-1})(\ell +\eta _{k})\!$

である。ここで $k>N\!$ において $|\eta _{k}|<\varepsilon$ である。

ここで$n\gg N\!$に対する$a_{n}-a_{N}$は、$k\!$ について $N+1\!$ から足し合わせることにより、

$a_{n}-a_{N}=(b_{n}-b_{N})\,c+\sum _{k=N+1}^{n}(b_{k}-b_{k-1})\,\eta _{k}$

を得て、さらに両辺を${b_{n}}$ で割ることによって次式を得る。

${\frac {a_{n}}{b_{n}}}={\frac {a_{N}}{b_{n}}}+\left(1-{\frac {b_{N}}{b_{n}}}\right)c+\sum _{k=N+1}^{n}{\frac {b_{k}-b_{k-1}}{b_{n}}}\,\eta _{k}$

数列 $(b_{n})\!$ は単調増加であるので、この右辺の第1項は 0 に収束する。また第2項は $c$ に収束する。第3項の数列の単調性により、次の関係を得る。

$\left|\sum _{k=N+1}^{n}{\frac {b_{k}-b_{k-1}}{b_{n}}}\,\eta _{k}\right|\leq \sum _{k=N+1}^{n}{\frac {b_{k}-b_{k-1}}{b_{n}}}\,|\eta _{k}|<\left(1-{\frac {b_{N}}{b_{n}}}\right)\varepsilon \leq \varepsilon$

$M>N\!$ なる M を見つけることは可能であり、そのとき、全ての $n>M\!$ に対して左の2項の差は$\varepsilon$に収束し、$n>M\,$ に対して次の推定値

$\left|{\frac {a_{n}}{b_{n}}}-\ell \right|<3\varepsilon$,

を得、数列の差分商は $\ell$ に収束する。

非可逆性

この定理、すなわち「数列の差分の比の極限が存在する⇒その数列の比の極限が存在する」の逆は真であるとは限らない。 例えば、二つの数列、

$\{a_{n}\}=\{10,10,100,100,1000,1000,\dots \}$

$\{b_{n}\}=\{10,11,100,101,1000,1001,\dots \}$

に対して、

$\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=1$

であるが、極限、

$\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}-a_{n-1}}{b_{n}-b_{n-1}}}$

は存在しない。

一般化

二つの数列 $a_{n}=\sum _{k=1}^{n}r_{k}$ と $b_{n}=\sum _{k=1}^{n}d_{k}$ が $\{r_{n}\}\!$ と $\{d_{n}\}\!$ で規定されるとする。 ここで、

• $d_{n}={\frac {1}{n}}$ は調和数列
• 各数列の要素が正の有限値、あるいは、各数列は増加的
• $\{b_{n}\}\!$ が単調増加

であるとき、極限、

$\lim _{n\to \infty }{\frac {r_{n}}{d_{n}}}={\frac {a_{n}-a_{n-1}}{b_{n}-b_{n-1}}}=\ell$

が存在すれば、

$\lim _{n\to \infty }{\frac {\sum _{k=1}^{n}r_{k}}{\sum _{k=1}^{n}d_{k}}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=\ell$

である。

関連項目

• ロピタルの定理
• チェザロ和
• チェザロ平均
• Cauchysche Grenzwertsatz

外部リンク

• Proof of Stolz–Cesàro theorem

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