利用者:Kurosuke88/temp3

等比数列（とうひすうれつ、または幾何数列（きかすうれつ）、英: geometric progression）は数列のひとつで、隣り合う二項の比が項番号によらず常に一定である数列である。その比のことを公比（こうひ、英:common ratio）といい、本校では記号 r で表すことにする。例えば 4,12,36,108,… という数列は初項（a=a₁ で表す）が a=4 であり公比 r=3 の等比数列である。r は ${\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}$ という形で表され、0以外の全ての数を取りうる。r=1の場合は公差が 0 の等差数列でもある。等比数列は a と r を用いて各項を以下のように表される。

$a,\ ar,\ ar^{2},\ ar^{3},\ ar^{4},\ \ldots$

n≧1とすると n 番目の項 a_n（一般項）は以下の式で表される。

$a_{n}=a\ r^{n-1}$

一般に第n項 a_n と第m項 a_m の関係は $a_{n}=a_{m}\ r^{n-m}$ である。

数学的性質

等比数列 a_n を漸化式で表すと、

a₁ = a, a_n+1 = r a_n （n≧1）

となる。公比が r<0 の場合は符号が一項ずつ入れ替わる交代数列 (alternation) である。例えば初項 a₁=3、公比 r=-2 の等比数列は　3,-6,12,-24,…　という数列であり、一般項は

$a_{n}=3\cdot (-2)^{n-1}=(-1)^{n-1}\ 3\cdot 2^{n-1}$

となる。公比が r≧0 であれば全ての項は初項 a₁ と同じ符号を持つ。

等比数列はその公比 r の分類により次のように振る舞う。

• r > 1 :　初項 a₁ の符号によって正もしくは負の無限大に発散する。
  
• r = 1 :　一般項 a_n=a₁ のて定値数列である。
  
• -1< r < 1 :　0 に収束する。
  
• r =-1 :　a と -a の値を交互にとる（振動）。
  
• r <-1 :　振動的に発散する（正もしくは負の無限大に極限的に発散するということではない）。

形式的に等比数列の一般項の対数をとると

$\ln \ {a_{n}}=\ln \ a+(n-1)\ \ln \ r$

となり、数列{ln(a_n)}は初項 ln a 、公差d=ln r の等差数列の一般項になる。

等比級数（幾何級数）

等比数列の部分和 (geometric series) は等比数列の項の和のことをいい、初項 (第0項) から第n項までの部分和 S_n は以下の式で定義される。

${\begin{aligned}S_{n}&=\sum _{k=0}^{n}ar^{k}&=ar^{0}+ar^{1}+ar^{2}+ar^{3}+\cdots +ar^{n}\\&=a\sum _{k=0}^{n}r^{k}&=a(r^{0}+r^{1}+r^{2}+r^{3}+\cdots +r^{n})\\\end{aligned}}$

ここで

${\begin{aligned}ar^{n+1}&=a_{n+1}\\&=S_{n+1}-S_{n}\\&=a+rS_{n}-S_{n}\\&=a+(r-1)S_{n}\end{aligned}}$

より

$S_{n}=a{\frac {r^{n+1}-1}{r-1}}\quad (r\neq 1)$

r =1では

$S_{n}=\sum _{k=0}^{n}a=(n+1)a$

である。

一方、第m項から第n項までの和 S_{m, n}は

$S_{m,n}=\sum _{k=m}^{n}ar^{k}=S_{n}-S_{m-1}=a{\frac {r^{n+1}-r^{m}}{r-1}}\quad (r\neq 1)$

r =1では

$S_{m,n}=\sum _{k=m}^{n}ar^{k}=S_{n}-S_{m-1}=(n-m+1)a$

1+1/2+1/4+1/8+… という幾何級数が2に収束することを幾何学的に示した図。2はa=1、r=1/2のときの a/(1-r) に等しい。

無限級数

初項から全ての項の和を無限級数という。-1< r < 1 すなわち |r| <1 ではn→∞の極限で以下の式で求められる値に収束する。

$\sum _{k=0}^{\infty }ar^{k}=\lim _{n\to \infty }{\frac {a(1-r^{n+1})}{1-r}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {a}{1-r}}-\lim _{n\to \infty }{\frac {ar^{n+1}}{1-r}}={\frac {a}{1-r}}$

a≠0かつ |r| ≧1ではこの級数は収束しない。

a=1の場合の式を r で微分すると

${\frac {d}{dr}}\sum _{k=0}^{\infty }r^{k}=\sum _{k=0}^{\infty }kr^{k-1}={\frac {1}{(1-r)^{2}}}$

となり、

$\sum _{k=0}^{\infty }kr^{k}=\sum _{k=0}^{\infty }kr^{k-1}r={\frac {r}{\left(1-r\right)^{2}}}$

が導かれる。

関連項目

• 数列
• 等差数列
• 超幾何級数
• 級数

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