利用者:La premiere/アーベル圏

アーベル圏(Abel category)とはアレクサンドル・グロタンディークによって考案された、ホモロジー代数が展開できるよういくつかの公理を満たす圏である。元来層係数のコホモロジー理論と定数係数のコホモロジー理論は、定義および構成方法がまったくといっていいほど異なるにもかかわらず、理論の構造は酷似していた。そのため両者を統一的な観点から記述するために考案された。しかしながら知られているすべてのコホモロジー理論がアーベル圏上で展開できるわけではない。

定義

圏Cが以下の公理を満たすとき、アーベル圏と呼ぶ。

1. Cは零対象を持つ。
2. C内では有限積および有限和が存在する。
3. 任意の射u:A→Bに対してその核Ker uおよびその双対核Cok uが存在する。
4. 任意の単射u:A→Bはある射s:B→Cのker uとなる。

例

• アーベル群全体からなる圏Abはアーベル圏である。
• 環Rをひとつ固定し、左R加群全体からなる圏R-Modはアーベル圏である。

コホモロジー理論

アーベル圏B、CおよびBからCへの加法的関手Fを考える。このときBの任意の対象bに対してbの単射的分解を

$0\rightarrow b\rightarrow X^{0}\rightarrow X^{1}\rightarrow \dots$

にFを作用させることによりCにおける複体

$0\rightarrow F(X^{0})\rightarrow F(X^{1})\rightarrow \dots$

を得ることができる。しかしこの系列は一般には完全にはならない。したがってそのコホモロジー

$KerF(d^{n})/ImF(d^{n-1})\ \ \ (:=(R^{n}F)(B))$

をとることができる。この関手RⁿFをFの右導来関手と呼ぶ。

応用

Xを位相空間としXの開集合系が張る圏をTop(X)であらわす。このときTop(X)上の層全体が成す圏Sh(X)はアーベル圏である。任意の層${\mathcal {F}}\in Sh(X)$に対して切断関手

$\Gamma :{\mathcal {F}}\rightarrow {\mathcal {F}}(X)$

はSh(X)から可換環(あるいは加群、あるいは集合)の圏Ringへの加法的関手である。したがって上述の導来関手の理論が使えて、コホモロジー

$H^{n}(X,{\mathcal {F}})\ \ \ (:=R^{n}\Gamma ({\mathcal {F}}))$

が構成できる。

その他の話題

アーベル圏はもともとR加群の圏の一般化として定義されたが、実は次の定理が示すように任意のアーベル圏はあるR加群の圏の充満部分圏と見れる。

Aをアーベル圏とする。そのときある環RがあってAからR加群の圏R-Modへの忠実、充満かつ完全な埋め込み関手Fが存在する。

またアーベル圏の公理を少し緩めたセミアーベル圏を構成して、その上でコホモロジー理論を展開しようという試みもある。