利用者:Muraken/翻訳/Anderson-Darling test

アンダーソン-ダーリン検定 は，正規性から最も遠い分布を特定するための最も強力な統計手法の一つであり，Theodore Wilbur Anderson, Jr. (1981–?) と Donald A. Darling (1915–?) が 1952年に考案した．それは，標本数が n ≤ 25 のように小さい場合でも使用できる．とても大きな標本数は，小さな不完全性を持つ場合に限って，正規性の仮定を棄却できる．しかし，200以上のサンプル数を持つ産業データはアンダーソン-ダーリン検定をパスしている．

アンダーソン-ダーリン検定は，ある標本がある指定された分布から来るものであるかどうかを判定する．データ $\{Y_{1}<\cdots <Y_{N}\}$ (このとおりの順番で与えられなければならないことに注意) が累積分布関数 (CDF) $F$を持つある分布から来ているかどうかを判定するために統計量 $A$ を検定するための公式は

$A^{2}=-N-S$

ここで

$S=\sum _{k=1}^{N}{\frac {2k-1}{N}}\left[\ln F(Y_{k})+\ln \left(1-F(Y_{N+1-k})\right)\right]$

である．

そして，その検定の統計量は，P 値を決定するために，($F$ が使用されていることに依存する) 理論分布の臨界値に対して比較される．

正規性に対するアンダーソン-ダーリン検定は，ある距離もしくは 経験分布関数 (EDF) の検定である．それは，ある仮説に内在する分布が与えられたとき，そのデータがある一様分布へと変換できるというコンセプトに基づいている．その変換された標本データは，ある距離検定によって一様性について検定されることができる (Shapiro 1980)．

In comparisons of power, Stephens (1974) found $A^{2}$ to be one of the best EDF statistics for detecting most departures from normality. The only statistic close was the $W^{2}$ (Cramér von-Mises test) statistic.

Procedure

(If testing for normal distribution of the variable X)

1) The data of the variable X that should be tested is sorted from low to high.

2) The mean, ${\bar {X}}$, and standard deviation, $s$, are calculated from the sample of X.

3) The values of X are standardized as follows:

$Y_{i}={\frac {X_{i}-{\bar {X}}}{s}}$

4) With the standard normal CDF $\Phi$, $A^{2}$ is calculated using:

$A^{2}=-n-{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(2i-1)(\ln \Phi (Y_{i})+\ln(1-\Phi (Y_{n+1-i}))).$

5) $A^{2*}$, an approximate adjustment for sample size, is calculated using:

$A^{2*}=A^{2}\left(1+{\frac {0.75}{n}}+{\frac {2.25}{n^{2}}}\right)$

6) If $A^{2*}$ exceeds 0.752 then the hypothesis of normality is rejected for a 5% level test.

Note:

1. If s = 0 or any $P_{i}=$(0 or 1) then $A^{2}$ cannot be calculated and is undefined.

2. Above, it was assumed that the variable $X_{i}$ was being tested for normal distribution. Any other theoretical distribution can be assumed by using its CDF. Each theoretical distribution has its own critical values, and some examples are: lognormal, exponential, Weibull, extreme value type I and logistic distribution.

3. Null hypothesis follows the true distribution (in this case, N(0, 1)).

See also

• Kolmogorov-Smirnov test
• Shapiro-Wilk test
• Smirnov-Cramér-von-Mises test

External links

• US NIST Handbook of Statistics