利用者:Paaebede/ニュートンの抵抗法則

ニュートンの抵抗法則（英：Newton's law of drag）とは、流体力学における、流体中を粒子が一定速度で運動するとき、粒子まわりのレイノルズ数が大きく、流体の粘性抵抗が慣性抵抗に比べて無視できるときに成立する、粒子にはたらく抗力について表した式。

数式

密度 $\rho$ 、粘性 $\mu$ の流体中を、断面積 $A$ の粒子が速度 $v$ で運動するとき、粒子まわりのレイノルズ数が $Re>500$ であれば、抗力 $F_{d}$ に関して、$\mu$ の値にかかわらず、$F_{d}={\frac {k}{2}}A\rho v^{2}$ という式が成立する。( $k\simeq 0.44$ は抵抗係数)

導出

抵抗係数 $C_{d}$ において、抗力の式 $F_{d}={\frac {1}{2}}C_{d}A\rho v^{2}$ が成り立つ。

また抵抗係数 $C_{d}$ については、次の近似式が成立する。

${\begin{cases}C_{d}\simeq {\dfrac {24}{Re}}&(Re<2)\\C_{d}\simeq {\dfrac {10}{\sqrt {Re}}}&(2<Re<500)\\C_{d}\simeq k(=0.44)&(Re>500)\end{cases}}$

この近似式は実験から示された数式であり、導出するものではない。

仮定より $Re>500$ なので、$C_{d}=k$ を抗力の式に代入して、$F_{d}={\frac {k}{2}}A\rho v^{2}$ となり、ニュートンの抵抗法則が示された。

比較

レイノルズ数の定義より、$Re={\frac {\rho vL}{\mu }}$ ( $L$ は特性長さ) なので、$Re<2$ または $2<Re<500$ の場合、レイノルズ数の定義式を近似式に代入し、それを抗力の式に代入すれば以下の抵抗法則が導出される。

${\begin{cases}F_{d}={\dfrac {12}{L}}A\mu v&(Re<2)\\F_{d}={\dfrac {1}{\sqrt {L}}}{\sqrt {\rho \mu }}v^{\frac {3}{2}}&(2<Re<500)\\F_{d}={\dfrac {k}{2}}a\rho v^{2}&(Re>500)\end{cases}}$

これらの数式から、慣性抵抗と粘性抵抗のいずれかを無視できるかどうかの境界線を決めることができる。また、粘性抵抗の方が慣性抵抗よりも強い力であることがわかる。

脚注

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