利用者:Smatsus/双凸最適化

双凸最適化問題は目的関数が双凸関数でありかつ実行可能領域が双凸集合である最適化問題であり、凸最適化問題の一種の一般化と考えることができる。双凸関数と双凸集合の定義は後述の通りである。

凸最適化問題のように極小値が必ず大域的最小値であるという性質は満たさない。そのため大域最適解を求める代わりに停留点を求めるためのアルゴリズムがいくつか提案されている。

双凸集合

集合$B\subset X\times Y$とする。任意の$(x,y)\in B$に対し、$B_{x}=\{y\in Y:(x,y)\in B\}$,$B_{y}=\{x\in X:(x,y)\in B\}$と定義する。

任意の$(x,y)\in B$に対し、$B_{x}$および$B_{y}$が凸集合である時、$B$を双凸集合という。

双凸関数

$B$が双凸集合であるとする。関数 $f(x,y):B\to \mathbb {R}$ が双凸関数であるとは、任意の$(x,y)\in B$に対し、$f_{x}(\cdot )=f(x,\cdot )$ が$B_{x}$上の凸関数であり、かつ$f_{y}(\cdot )=f(\cdot ,y)$ が$B_{y}$上の凸関数であることをいう。

双凸最適化問題

双凸最適化問題とは双凸集合$B$と双凸関数$f(x,y):B\to \mathbb {R}$を用いて

${\begin{aligned}&\mathop {\rm {minimize}} \quad f(x,y)\\&\mathop {\rm {subject\ to\ }} \quad (x,y)\in B\end{aligned}}$

のように書ける最小化問題のことである。