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温度定点	温度 (K)	温度 (°C)
平衡水素の三重点	0013.8033	−259.3467
ネオンの三重点	0024.5561	−248.5939
酸素の三重点	0054.3584	−218.7916
アルゴンの三重点	0083.8058	−189.3442
水銀の三重点	0234.3156	0−38.8344
水の三重点	0273.16	0000.01
ガリウムの融解点	0302.9146	0029.7646
インジウムの凝固点	0429.7485	0156.5985
錫の凝固点	0505.078	0231.928
亜鉛の凝固点	0692.677	0419.527
アルミニウムの凝固点	0933.473	0660.323
銀の凝固点	1234.93	0961.78
金の凝固点	1337.33	1064.18
銅の凝固点	1357.77	1084.62

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調和振動子

古典系

N個の独立な調和振動子から構成される古典系を考える。調和振動子の質量をmとし、角振動数をωとする。系のハミルトニアンは

$H_{N}=\sum _{i=1}^{N}{h(q_{i},p_{i})}=\sum _{i=1}^{N}{\biggl (}{\frac {p_{i}^{\,2}}{2m}}+{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}q_{i}^{\,2}{\biggr )}$

となる。但し、

$h(q_{i},p_{i})={\frac {p_{i}^{\,2}}{2m}}+{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}q_{i}^{\,2}$

は一つの調和振動子のハミルトニアンであり、それぞれの調和振動子は区別できるとする。このとき、分配関数は調和振動子間の相互作用が無いことから

${\begin{aligned}Z(\beta ,N)&={\frac {1}{(2\pi \hbar )^{N}}}\iint \!\cdots \!\int \mathrm {d} p_{1}\cdots \mathrm {d} p_{N}\,\mathrm {d} q_{1}\cdots \mathrm {d} q_{N}\,e^{-\beta H_{N}}\\&={\biggl (}{\frac {1}{(2\pi \hbar )}}\iint \mathrm {d} p_{i}\mathrm {d} q_{i}\,e^{-\beta h(q_{i},p_{i})}{\biggr )}^{N}\\&={\bigl (}Z(\beta ,1){\bigr )}^{N}\end{aligned}}$

とZ(β,1)の積で表される。ここでe^{-β h(q_i, p_i)}のq_iにわたる積分が(2πm/β)^1/2に、p_iにわたる積分が(2π/mω²β)^1/2になることから

$Z(\beta ,1)={\frac {1}{\hbar \beta \omega }}$

$Z(\beta ,N)={\biggl (}{\frac {1}{\hbar \beta \omega }}{\biggr )}^{N}$

となる。

量子系

N個の独立な調和振動子から構成される量子系を考える。調和振動子の質量をmとし、角振動数をωとする。一つの調和振動子のハミルトニアンˆh(q_i,p_i)に対するエネルギー固有値は

$E_{n_{i}}=\hbar \omega {\biggl (}n_{i}+{\frac {1}{2}}{\biggr )}\quad (n_{i}=0,1,2,\cdots )$

であり、系のハミルトニアンˆH_Nのエネルギー固有値は

$E=\sum _{i=1}^{N}E_{n_{i}}=\sum _{i=1}^{N}\hbar \omega {\biggl (}n_{i}+{\frac {1}{2}}{\biggr )}$

になる。このとき、分配関数は

${\begin{aligned}Z(\beta ,N)&=\sum _{n_{1}=0}^{\infty }\cdots \sum _{n_{N}=0}^{\infty }\exp {{\biggl (}-\beta \sum _{i=1}^{N}E_{n_{i}}}{\biggr )}\\&=\sum _{n_{1}=0}^{\infty }\cdots \sum _{n_{N}=0}^{\infty }\prod _{i=1}^{N}e^{-\beta E_{n_{i}}}\\&=\prod _{i=1}^{N}\sum _{n_{i}=0}^{\infty }e^{-\beta E_{n_{i}}}\\&=(Z(\beta _{,}1))^{N}\end{aligned}}$

となる。一つの調和振動子におけるZ(β,1)は

$Z(\beta ,1)=\sum _{n=0}^{\infty }e^{-\beta E_{n}}=e^{-{\frac {1}{2}}\beta \hbar \omega }\sum _{n=0}^{\infty }e^{-\beta \hbar \omega n}$

となる。これは等比級数であるから、

$Z(\beta ,1)={\frac {e^{-{\frac {1}{2}}\beta \hbar \omega }}{1-e^{-\beta \hbar \omega }}}={\biggl [}2\sinh {\frac {\beta \hbar \omega }{2}}{\biggr ]}^{-1}$

と求まり、

$Z(\beta ,N)={\bigl (}Z(\beta ,1){\bigr )}^{N}={\biggl [}2\sinh {\frac {\beta \hbar \omega }{2}}{\biggr ]}^{-N}$

になる。

単原子分子の理想気体

N個の単原子分子の粒子から構成される理想気体の古典系を考える。単原子分子の質量をmとする。i番目の粒子の正準座標をq_i=(q_ix, q_iy, q_iz)、正準運動量をp_i=(p_ix, p_iy, p_iz)とすると系のハミルトニアンは

$H_{N}=\sum _{i=1}^{N}{h(q_{i},p_{i})}=\sum _{i=1}^{N}{\frac {1}{2m}}{\bigl (}p_{ix}^{\,2}+p_{iy}^{\,2}+p_{iz}^{\,2}{\bigr )}$

となる。但し、

$h(q_{i},p_{i})={\frac {1}{2m}}{\bigl (}p_{ix}^{\,2}+p_{iy}^{\,2}+p_{iz}^{\,2}{\bigr )}$

は1粒子のハミルトニアンである。このとき、分配関数は粒子間の相互作用が無いことから

${\begin{aligned}Z(\beta ,N)&={\frac {1}{N!\,(2\pi \hbar )^{3N}}}\iint \!\cdots \!\int \mathrm {d} ^{3}p_{1}\cdots \mathrm {d} ^{3}p_{N}\,\mathrm {d} ^{3}q_{1}\cdots \mathrm {d} ^{3}q_{N}\,e^{-\beta H_{N}}\\&={\frac {1}{N!}}{\biggl (}{\frac {1}{(2\pi \hbar )^{3}}}\iint \mathrm {d} ^{3}p_{i}\mathrm {d} ^{3}q_{i}\,e^{-\beta h(q_{i},p_{i})}{\biggr )}^{N}\\&={\frac {1}{N!}}{\bigl (}Z(\beta ,1){\bigr )}^{N}\end{aligned}}$

とZ(β,1)の積で表される。ここでe^{-β h(q_i, p_i)}のq_i=(q_ix, q_iy, q_iz)にわたる積分が体積V、p_i=(p_ix, p_iy, p_iz)にわたる積分が(2πm)^3/2になることから

$Z(\beta ,1)=V{\biggl (}{\frac {m}{2\pi \hbar ^{2}\beta }}{\biggr )}^{\frac {3}{2}}=V{\biggl (}{\frac {2\pi m}{h^{2}\beta }}{\biggr )}^{\frac {3}{2}}$

$Z(\beta ,N)={\frac {V^{N}}{N!}}{\biggl (}{\frac {m}{2\pi \hbar ^{2}\beta }}{\biggr )}^{\frac {3N}{2}}={\frac {V^{N}}{N!}}{\biggl (}{\frac {2\pi m}{h^{2}\beta }}{\biggr )}^{\frac {3N}{2}}$

となる。

2原子分子の理想気体

一様な静磁場中での電子の旋回運動。軌道は磁場の方向を中心軸とする螺旋軌道となる。負の電荷をもつ電子は磁場の方向に対し、右回りに旋回運動する。

一様な静磁場中での電子の旋回運動。軌道は磁場の方向を中心軸とする螺旋軌道となる。負の電荷をもつ電子は磁場の方向に対し、右回りに旋回運動する。

N個の二原子分子の粒子から構成される理想気体の古典系を考える。二原子分子のモデルとしては、同種粒子からなる剛体モデルを考え、その質量をMとする。i番目の粒子の重心座標をR_i=(X_i, Y_i, Z_i)、正準共役な運動量をP_i=(P_Xi, P_Yi, P_Zi)とし、 剛体の方位角を(θ_i, ϕ_i)、方位角に正準共役な運動量を(p_θi, p_ϕi)とする。系のハミルトニアンは

$H_{N}=\sum _{i=1}^{N}{{\bigl (}h_{trans}({\boldsymbol {R}}_{i},{\boldsymbol {P}}_{i})+h_{rot}(\theta _{i},\phi _{i},p_{\theta i},p_{\phi i}){\bigr )}}$

となる。但し、

$h_{trans}({\boldsymbol {R}},{\boldsymbol {P}})={\frac {1}{2M}}{\boldsymbol {P}}^{\,2}$

は1分子のハミルトニアンの並進運動についての項である。また、

$h_{rot}(\theta ,\phi ,p_{\theta },p_{\phi })={\frac {1}{2I}}{\biggl (}P_{\,\theta }^{\,2}+{\frac {P_{\phi }^{\,2}}{\sin ^{2}\theta }}{\biggr )}$

は1分子のハミルトニアンの回転運動についての項であり、I は重心周りの慣性モーメントである。

このとき、分配関数は

$Z(\beta ,N)=Z_{trans}(\beta ,N)Z_{rot}(\beta ,N)$

と並進運動の項Z_trans(β,N)と回転運動の項Z_rot(β,N)の積になる。Z_trans(β,N)については

${\begin{aligned}Z_{trans}(\beta ,N)&={\frac {1}{N!\,(2\pi \hbar )^{3N}}}\iint \!\cdots \!\int \mathrm {d} ^{3}{\boldsymbol {P}}_{1}\cdots \mathrm {d} ^{3}{\boldsymbol {P}}_{N}\,\mathrm {d} ^{3}{\boldsymbol {R}}_{1}\cdots \mathrm {d} ^{3}{\boldsymbol {R}}_{N}\,e^{-\beta H_{N}}\\&={\frac {1}{N!}}{\biggl (}{\frac {1}{(2\pi \hbar )^{3}}}\iint \mathrm {d} ^{3}{\boldsymbol {P}}_{i}\mathrm {d} ^{3}{\boldsymbol {R}}_{i}\,e^{-\beta h_{trans}({\boldsymbol {R}}_{i},{\boldsymbol {P}}_{i})}{\biggr )}^{N}\\&={\frac {1}{N!}}{\bigl (}Z_{trans}(\beta ,1){\bigr )}^{N}\end{aligned}}$

とZ_trans(β,1)の積で表される。ここでe^{-β h_trans(R_i, P_i)}のR_i=(X_i, Y_i, Z_i)にわたる積分が体積V、P_i=(P_Xi, P_Yi, P_Zi)にわたる積分が(2πm)^3/2になることから

$Z_{trans}(\beta ,1)=V{\biggl (}{\frac {m}{2\pi \hbar ^{2}\beta }}{\biggr )}^{\frac {3}{2}}=V{\biggl (}{\frac {2\pi m}{h^{2}\beta }}{\biggr )}^{\frac {3}{2}}$

となる。Z_rot(β,N)については

${\begin{aligned}Z_{rot}(\beta ,N)&={\frac {1}{(2\pi \hbar )^{2N}}}\iint \!\cdots \!\int \mathrm {d} \theta _{1}\cdots \mathrm {d} \theta _{N}\,\mathrm {d} \phi _{1}\cdots \mathrm {d} \phi _{N}\,\mathrm {d} p_{\theta 1}\cdots \mathrm {d} p_{\theta N}\,\mathrm {d} p_{\phi 1}\cdots \mathrm {d} p_{\phi N}\,e^{-\beta H_{N}}\\&={\frac {1}{N!}}{\biggl (}{\frac {1}{(2\pi \hbar )^{2}}}\iint \mathrm {d} \theta _{i}\mathrm {d} \phi _{i}\mathrm {d} p_{\theta i}\mathrm {d} p_{\phi i}\,e^{-\beta h_{rot}(\theta _{i},\phi _{i},p_{\theta i},p_{\phi i})}{\biggr )}^{N}\\&={\frac {1}{N!}}{\bigl (}Z_{rot}(\beta ,1){\bigr )}^{N}\end{aligned}}$

とZ_rot(β,1)の積で表される。ここでe^{-β h_rot(θ_i, ϕ_i, p_θi, p_ϕi)}のp_θiにわたる積分が(2πI/β)^1/2、p_ϕiにわたる積分が(2πI sin²θ/β)^1/2になることから

${\begin{aligned}Z_{rot}(\beta ,1)&={\frac {1}{(2\pi \hbar )^{2}}}\int _{0}^{\pi }\mathrm {d} \theta _{i}\int _{0}^{2\pi }\mathrm {d} \phi _{i}\,{\sqrt {\frac {2\pi I}{\beta }}}{\sqrt {{\frac {2\pi I}{\beta }}\sin ^{2}{\theta }}}\\&={\frac {I}{\beta \hbar ^{2}}}\int _{0}^{\pi }\mathrm {d} \theta _{i}\sin {\theta _{i}}\\&={\frac {2I}{\beta \hbar ^{2}}}\end{aligned}}$

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磁性体のモデルとして、d -次元空間の格子点に上向きと下向きの2状態をとるスピンが配置された格子模型を考える。 σ_i=±1を i 番目の格子点におけるスピンの状態を示す変数とし、+1が上向きのスピン、−1が下向きのスピンに対応するものとする。格子点の総数は N 個ととし、一つの格子点に最近接する格子点の数を z 個とする。例えば、１次元格子ではz =2、2次元正方格子ではz =4、3次元正方格子では z =6である。

J_ijを２つの格子点i, j間における交換相互作用、h_iは格子点 i における外部磁場とする。このとき、イジング模型のハミルトニアンは次式で与えられる。

${\mathcal {H}}=-\sum _{\left\langle i,j\right\rangle }J_{ij}\,\sigma _{i}\cdot \sigma _{j}-\sum _{i}h_{i}\,\sigma _{i}$

第1項目は最隣接する格子点におけるスピン間の相互作用のエネルギーを表し、⟨i, j⟩は最近接する格子点のペアについての和であることを意味し、⟨i,j⟩の和はzN/2個の項の和になる。 J_ij >0の場合を強磁性相互作用、J_ij <0の場合を反磁性相互作用という。強磁性相互作用では最近接する格子点 i,jのスピン対が同じ向きに揃い、σ_i·σ_j=+1となるとエネルギーは J_ij だけ下がる。一方、反磁性相互作用では最近接する格子点のスピン対が異なる向きをとり、σ_i·σ_j=−1となるとエネルギーは |J_ij| だけ下がる。第2項目は外部磁場に対するのエネルギーを表す。格子点iにおいて、スピンの向き（符号）が外部磁場の向き（符号）と揃うと、エネルギーーは |h_i| だけ下がる。

特に格子点上で交換相互作用が一定値、外部磁場も一定値とする均一なケースでは

${\mathcal {H}}=-J\sum _{\left\langle i,j\right\rangle }\sigma _{i}\cdot \sigma _{j}-h\sum _{i}\sigma _{i}$

となる。

統計力学において、平衡状態での熱力学的な性質は分配関数 Z から求まる。分配関数は系の取りうる全ての状態についてのボルツマン因子e^−βℋの足し合わせで与えられる。

イジング模型においては、N 個の格子点のスピン変数がσ=±1の値をとる2^N個の状態が存在し、分配関数は

${\begin{aligned}Z&=\sum _{\sigma _{1}=\pm 1}\cdots \sum _{\sigma _{N}=\pm 1}e^{-\beta {\mathcal {H}}}\\&=\sum _{\sigma _{1}=\pm 1}\cdots \sum _{\sigma _{N}=\pm 1}\exp {\biggl (}\beta \sum _{\left\langle i,j\right\rangle }J_{ij}\sigma _{i}\sigma _{j}+\beta \sum _{i}h_{i}\sigma _{i}{\biggr )}\end{aligned}}$

となる。

ここでℋは系のハミルトニアンであり、βは温度Tとボルツマン定数kによって、β=1/kTで定義される逆温度である。ヘルムホルツの自由エネルギーFは分配関数から

$F=\beta \ln {Z}$

と求まる。

系全体のスピンの配向は∑N
iで特徴付けられるが、熱平衡状態でのその平均は 磁化

${\begin{aligned}M=\left\langle \sum _{i=1}^{N}\sigma _{i}\right\rangle \end{aligned}}$

で与えられる。

一般に相互作用を含むモデルでは分配関数を求めることは困難であるが、一様な交換相互作用、外部磁場の設定において、イジング模型では1次元のケース、外部磁場のない2次元のケースについては、厳密に分配関数を求めることが可能である。

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数学用英数字記号

一般化

イジング模型は強磁性体や反強磁性体のモデルではあるが、二元合金や格子気体のモデルとも等価である。また、イジング模型は不規則磁性体の秩序相であるスピングラスの解析にも用いられる。スピングラスでは、強磁性と反強磁性の相互作用が空間的にランダムに入り混じったイジング模型が用いられる。スピングラス理論における解析手法は、ニューラルネットワーク(神経回路網)における連想記憶の理論や組合せ最適化問題にも応用されている。これらの分野においても、イジング模型が応用されている。

二元合金

2種類の金属原子A,Bが格子点上に配置された二元合金の系を考える。格子点の総数をNとし、金属原子Aの個数をN_A、金属原子Bの個数をN_Bとする。原子間の相互作用として、最近接格子点にA同士が並んだ時にφ_AA、B同士が並んだ時にφ_BB、AとBが並んだ時にφ_ABだけのポテンシャルエネルギーをもつとする。またここで、N_AAはA同士が最近接する格子点のペア数、N_BBはB同士が最近接する格子点のペア数、N_AAはAとBが最近接する格子点のペア数とする。系のポテンシャルエネルギーは

$E=\phi _{AA}N_{AA}+\phi _{BB}N_{BB}+\phi _{AB}N_{AB}$

となる。N_AA、N_BB、N_ABは独立でなく、

$N_{A}+N_{B}=N$

$zN_{A}=2N_{AA}+N_{AB}$

$zN_{B}=2N_{BB}+N_{AB}$

の関係を満たす。ここで z は一つの格子点の最近接する格子点の数である。格子点 i における変数σ_i を、金属Aが占有しているときにσ_i=+1、金属Bが占有しているときにσ_i=−1の値をとるものと定義する。このとき、

$\sum _{i}\sigma _{i}=N_{A}-N_{B}$

$\sum _{i}\sigma _{i}\cdot \sigma _{j}=N_{AA}+N_{BB}-N_{AB}$

であるから、系のポテンシャルエネルギーは

$E=-{\frac {1}{4}}\left(2\phi _{AB}-\phi _{AA}-\phi _{BB}\right)\sum _{\left\langle i,j\right\rangle }\sigma _{i}\cdot \sigma _{j}+{\frac {z}{4}}\left(\phi _{AA}-\phi _{BB}\right)\sum _{i}\sigma _{i}+{\frac {z}{4}}\left(2\phi _{AB}+\phi _{AA}+\phi _{BB}\right)N$

と書き表せる。これは交換相互作用Jを

$J={\frac {1}{4}}\left(2\phi _{AB}-\phi _{AA}-\phi _{BB}\right)$

とし、外部磁場hを

$h={\frac {z}{4}}\left(\phi _{AA}-\phi _{BB}\right)$

とするイジング模型と定数項を除いて等価である。

スピングラス

常磁性体金属に微量の磁性元素を添加した磁性希薄合金では、スピングラスと呼ばれる磁気的秩序相が存在する。エドワーズ・アンダーソン模型では、正負の値を取りえる磁気的相互作用が空間的にランダムに分布した不規則磁性体としてスピングラスを扱う。このモデルでは系のハミルトニアンはランダムな磁気的相互作用を持つイジング模型

${\mathcal {H}}=-\sum _{\left\langle i,j\right\rangle }J_{ij}\,\sigma _{i}\cdot \sigma _{j}$

である。相互作用の項の和は最近接する格子点のペア⟨i, j⟩についてとる。J_ijは強磁性的（J_ij>0）と反強磁性的（J_ij<0）の両者を取りえる確率変数である。J_ijの分布としては、確率密度関数が

$P(J_{ij})={\frac {1}{\sqrt {2\pi J^{2}}}}\exp {\left(-{\frac {1}{2J^{2}}}{\biggl (}J_{ij}-J_{0}{\biggr )}^{2}\right)}$

である平均J₀、分散Jのガウス分布や

$P(J_{ij})=p\,\delta (J_{ij}-J)+(1-p)\,\delta (J_{ij}+J)$

と確率pで値J (>0)をとり、確率1-pで値−Jをとる分布が用いられる。記号δ(J_ij)はデルタ関数である。

一方、スピングラスのシェリントン・カークパトリック模型では相互作用が全ての格子点のペア(i, j)と無限レンジにわたるものとする。このモデルのハミルトニアンは相互作用を無限レンジとするイジング模型

${\mathcal {H}}=-\sum _{\left(i,j\right)}J_{ij}\,\sigma _{i}\cdot \sigma _{j}$

である。確率変数J_ijは確率密度関数が

$P(J_{ij})=\left({\frac {N}{2\pi J^{2}}}\right)^{\frac {1}{2}}\cdot \exp {\left(-{\frac {N}{2J^{2}}}{\biggl (}J_{ij}-{\frac {J_{0}}{N}}{\biggr )}^{2}\right)}$

である平均J₀/N、分散J/√Nのガウス分布に従う。

一般化

イジング模型は最近接する格子点以外にも任意の格子点間(i, j)の相互作用を考慮する形に拡張することができる。このとき、ハミルトニアンℋは

${\begin{aligned}{\mathcal {H}}&=-\sum _{(i,j)}J_{ij}\,\sigma _{i}\cdot \sigma _{j}-\sum _{i}h_{i}\sigma _{i}\\&=-{\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{N}\sum _{j=1}^{N}J_{ij}\,\sigma _{i}\cdot \sigma _{j}-\sum _{i=1}^{N}h_{i}\sigma _{i}\end{aligned}}$

となる。

より一般にイジング模型は、無向グラフ上で定義することができる。頂点をV={1,…, N},頂点同士を繋ぐ辺をEとするグラフG=(V, E)において、イジング模型のハミルトニアンは

${\mathcal {H}}=-\sum _{(i,j)\in E}J_{ij}\,\sigma _{i}\cdot \sigma _{j}-\sum _{i\in V}h_{i}\sigma _{i}$

となる。

スピン反転対称性

各格子点上のスピン変数σ_iの組をまとめて、{σ_i}と表す。全ての格子点のスピン変数の向きを反転させる変換σ_i→−σ_iを行うと、ハミルトニアンは

${\mathcal {H}}(h,\{-\sigma _{i}\})=-\sum _{(i,j)}J_{ij}\,\sigma _{i}\cdot \sigma _{j}-\sum _{i}(-h_{i})\sigma _{i}={\mathcal {H}}(-h,\{\sigma _{i}\})$

となり、これは外部磁場の向きの反転h→−hと等価である。分配関数については、{σ_i}の取りうる全ての状態についてのボルツマン因子e^−βℋの和と{−σ_i}の取りうる全ての状態についてのボルツマン因子e^−βℋの和は等価であり、

$Z(h)=Z(-h)$

が成りたつ。その結果、

$f(h)=f(-h)$

も成り立つ。これらの対称性をスピン反転対称性またはZ₂対称性という。

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解析接続で複素平面上で定義される。このとき、自明な零点と呼ばれる負の整数値での零点m=-2,-4,-6, …が存在するともに、非自明な零点と呼ばれる複素数値の零点ρ=β+iγがクリテイカル・ストライプ領域 0<Im(ρ)<1内に存在する。

非自明な零点ρは、実軸と1/2+it 直線に対して、対称に存在しており、ρを一つの非自明な零点とすると、ρ^*、1-ρも零点となる。有名なリーマン予想は、この非自明な零点が全て1/2+it 直線上に存在すること主張している。現在までに、数値計算で確認されている非自明な零点はリーマン予想の成立を支持しており、例えば、上半面Res >0に存在する最初の6つの非自明な零点は

$\qquad {\begin{matrix}{\frac {1}{2}}+i14.13472...,&{\frac {1}{2}}+i21.02203...,&{\frac {1}{2}}+i25.01085...,\\{\frac {1}{2}}+i30.42487...,&{\frac {1}{2}}+i32.93506...,&{\frac {1}{2}}+i37.58617...,\end{matrix}}$

である。

0<Im(ρ)<T の領域に存在する零点の数N (T )は、重複度も込めて、

${\begin{aligned}N(T)&={\frac {T}{2\pi }}\log {\frac {T}{2\pi }}-{\frac {T}{2\pi }}+S(T)+{\frac {7}{8}}+O(T^{-1})\\&\sim {\frac {T}{2\pi }}\log T\end{aligned}}$

で与えられる。但し、

$S(T)={\frac {1}{\pi }}\arg \zeta {\biggl (}{\frac {1}{2}}+it{\biggr )}$

である。

モンゴメリの対相関関数予想

1970年代以前に、非自明な零点の間隔分布についての研究はなく、

この結果は、

T→∞で、

${\frac {1}{M}}\{(n,k)|N\leq n\leq N+M,\,k\geq 0,\,\delta _{n}+\delta _{n+1}+\cdots +\delta _{n+k}\in [\alpha ,\beta ]\}\sim \int _{\alpha }^{\beta }\left(1-{\biggl (}{\frac {\sin {\pi u}}{\pi u}}{\biggr )}^{2}\right)du$

右辺は、が指摘したようにGUE型の理論値である。

こうした、ランダム行列の固有値との関係性は、非自明な零点がある種のエルミート作用素の固有値として与えられるだろういうとヒルベルト・ポリア予想の成立を示唆するものであり、衝撃的なものであった。

オドリズコによる数値計算結果

AT&T ベル研究所の研究員であったオドリズコは、モンゴメリの予想結果に触発され、非自明な零点の間隔分布について、詳細な数値計算による検証を行った。そして、モンゴメリーの対相関関数予想の成立が確からしいこと、さらに、非自明な零点の規格化された間隔分布そのものが、GUE型のランダム行列の固有値の間隔分布に一致するであろうこと（***予想）を示した。これらの結果は、1987年の論文「ゼータ関数の零点間隔の分布について」で報告された。 規格化された零点間隔

$\delta _{n}=(\gamma _{n+1}-\gamma _{n}){\frac {\log {\frac {\gamma _{n}}{2\pi }}}{2\pi }}$

を導入すれば、前述のモンゴメリーの対相関関数予想からM, N→∞で

${\frac {1}{M}}\{(n,k)|N\leq n\leq N+M,\,k\geq 0,\,\delta _{n}+\delta _{n+1}+\cdots +\delta _{n+k}\in [\alpha ,\beta ]\}\sim \int _{\alpha }^{\beta }\left(1-{\biggl (}{\frac {\sin {\pi u}}{\pi u}}{\biggr )}^{2}\right)du$

が成立することが期待される。オドリズコは当時、最新鋭であったスーパーコンピューター Cray X-MPを用い、 N =1M =10⁵ とN =10¹² +1,M =10⁵ の場合、すなわち、1番から10⁵ 番目までに位置する 10⁵ 個のγ_nと10¹² +1番目から10¹² +10⁵ 番目までに位置する10⁵ 個の γ_n を10^±8の精度で求め、それらについての規格化された間隔の対相関関数と求め、GUEの理論値1-(sin(πx )/π x)²と精度よく一致することを示した。さらに規格化された零点間隔δ_nの分布とGUEの固有値の間隔の分布を計算し、両者がよく一致することを示した。後に、これらの結果は、オドリズコ自身によって、さらに10²⁰番目付近に位置するおよそ7×10⁷個の零点で確認され、より高い精度で確からしいことが示されている,。