利用者:Ta2o/サブページ1

解析接続で複素平面上で定義される。このとき、自明な零点と呼ばれる負の整数値での零点m=-2,-4,-6, …が存在するともに、非自明な零点と呼ばれる複素数値の零点ρ=β+iγがクリテイカル・ストライプ領域 0<Im(ρ)<1内に存在する。

非自明な零点ρは、実軸と1/2+it 直線に対して、対称に存在しており、ρを一つの非自明な零点とすると、ρ^*、1-ρも零点となる。有名なリーマン予想は、この非自明な零点が全て1/2+it 直線上に存在すること主張している。現在までに、数値計算で確認されている非自明な零点はリーマン予想の成立を支持しており、例えば、上半面Res >0に存在する最初の6つの非自明な零点は

$\qquad {\begin{matrix}{\frac {1}{2}}+i14.13472...,&{\frac {1}{2}}+i21.02203...,&{\frac {1}{2}}+i25.01085...,\\{\frac {1}{2}}+i30.42487...,&{\frac {1}{2}}+i32.93506...,&{\frac {1}{2}}+i37.58617...,\end{matrix}}$

である。

0<Im(ρ)<T の領域に存在する零点の数N (T )は、重複度も込めて、

${\begin{aligned}N(T)&={\frac {T}{2\pi }}\log {\frac {T}{2\pi }}-{\frac {T}{2\pi }}+S(T)+{\frac {7}{8}}+O(T^{-1})\\&\sim {\frac {T}{2\pi }}\log T\end{aligned}}$

で与えられる。但し、

$S(T)={\frac {1}{\pi }}\arg \zeta {\biggl (}{\frac {1}{2}}+it{\biggr )}$

である。

モンゴメリの対相関関数予想

1970年代以前に、非自明な零点の間隔分布についての研究はなく、

この結果は、

T→∞で、

構文解析に失敗 (構文エラー): {\displaystyle \frac{1}{M} \{(n,k) | N \leq n \leq N+M, \, k \geq 0, \, \delta_{n}+ \delta_{n+1}+ \cdots +\delta_{n+k} \in [ \alpha, \beta] \} \\ \sim \int_{\alpha}^{\beta} \left ( 1- \biggl ( \frac{\sin{\pi u}}{\pi u} \biggr )^2 \right ) du }

右辺は、が指摘したようにGUE型の理論値である。

こうした、ランダム行列の固有値との関係性は、非自明な零点がある種のエルミート作用素の固有値として与えられるだろういうとヒルベルト・ポリア予想の成立を示唆するものであり、衝撃的なものであった。

オドリズコによる数値計算結果

AT&T ベル研究所の研究員であったオドリズコは、モンゴメリの予想結果に触発され、非自明な零点の間隔分布について、詳細な数値計算による検証を行った。そして、モンゴメリーの対相関関数予想の成立が確からしいこと、さらに、非自明な零点の規格化された間隔分布そのものが、GUE型のランダム行列の固有値の間隔分布に一致するであろうこと（***予想）を示した。これらの結果は、1987年の論文「ゼータ関数の零点間隔の分布について」で報告された。 規格化された零点間隔

$\delta _{n}=(\gamma _{n+1}-\gamma _{n}){\frac {\log {\frac {\gamma _{n}}{2\pi }}}{2\pi }}$

を導入すれば、前述のモンゴメリーの対相関関数予想からM, N→∞で

構文解析に失敗 (構文エラー): {\displaystyle \frac{1}{M} \{(n,k) | N \leq n \leq N+M, \, k \geq 0, \, \delta_{n}+ \delta_{n+1}+ \cdots +\delta_{n+k} \in [ \alpha, \beta] \} \\ \sim \int_{\alpha}^{\beta} \left ( 1- \biggl ( \frac{\sin{\pi u}}{\pi u} \biggr )^2 \right ) du }

が成立することが期待される。オドリズコは当時、最新鋭であったスーパーコンピューター Cray X-MPを用い、 N =1M =10⁵ とN =10¹² +1,M =10⁵ の場合、すなわち、1番から10⁵ 番目までに位置する 10⁵ 個のγ_nと10¹² +1番目から10¹² +10⁵ 番目までに位置する10⁵ 個の γ_n を10^±8の精度で求め、それらについての規格化された間隔の対相関関数と求め、GUEの理論値1-(sin(πx )/π x)²と精度よく一致することを示した。さらに規格化された零点間隔δ_nの分布とGUEの固有値の間隔の分布を計算し、両者がよく一致することを示した。後に、これらの結果は、オドリズコ自身によって、さらに10²⁰番目付近に位置するおよそ7×10⁷個の零点で確認され、より高い精度で確からしいことが示されている,。