利用者:Ta2o/sandbox

作業メモ

• Estn's work: non-equiv, fluc of light, ebk
• GLM: May-Moses
• Extrm stat: asymptotic
• FPU: original model, Z-K model, Ford's work
• BE stat:
• partition: examp
• Smflt fine
• LRL

下書き

${\hat {S}}_{z}|+\rangle =+{\frac {\hbar }{2}}|+\rangle ,\,{\hat {S}}_{z}|+\rangle =+{\frac {\hbar }{2}}|+\rangle$

スピン1/2の系でスピン演算子はパウリ行列によって、

${\hat {S}}_{x}={\frac {\hbar }{2}}\sigma _{x},\,{\hat {S}}_{y}={\frac {\hbar }{2}}\sigma _{y},\,{\hat {S}}_{z}={\frac {\hbar }{2}}\sigma _{z}$

で与えられ、交換関係

$[{\hat {S}}_{x},{\hat {S}}_{y}]=i\hbar {\hat {S}}_{z},\,[{\hat {S}}_{y},{\hat {S}}_{z}]=i\hbar {\hat {S}}_{x},\,[{\hat {S}}_{z},{\hat {S}}_{x}]=i\hbar {\hat {S}}_{y}$

を満たす。

一般に磁気モーメント ˆμ=γˆS を持つ荷電粒子に磁場 B を印加すると、対応するハミルトニアンは

${\hat {H}}=-{\hat {\mathbf {\mu } }}\cdot \mathbf {B} =-\gamma {\hat {\mathbf {S} }}\cdot \mathbf {B}$

で与えられる。但し、γ は磁気回転比であり、電子については、ボーア磁子 μ_B=eħ/2m_e とg 因子 g によって γ=gμ_B/ħで表される。よって、磁場中の電子スピンのハミルトニアンは

${\hat {H}}=-{\frac {e}{m_{e}}}{\hat {\mathbf {S} }}\cdot \mathbf {B}$

となる。

一覧

分布	$F(x)$	$X=F^{-1}(U)$
指数分布	$1-\exp {\left(-{\frac {x}{\mu }}\right)},\quad x\geq 0$	$-\mu \ln {(1-U)}$
ワイブル分布	$1-\exp {\left(-\left({\frac {x}{\eta }}\right)^{\beta }\right)},\quad x\geq 0$	$\eta ((-\ln {(1-U)})^{1/\beta }$
ガンベル分布	$\exp {\left(-\exp {\left(-\left({\frac {x-\mu }{\eta }}\right)\right)}\right)},\quad -\infty <x<+\infty$	$\mu -\eta \ln {(-\ln {U})}$
コーシー分布	${\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\pi }}\arctan {\frac {x}{\eta }},\quad -\infty <x<+\infty$	$\eta \tan {\pi \left(U-{\frac {1}{2}}\right)}$
ロジスティック分布	${\frac {1}{1+\exp {\left(-{\frac {x-\mu }{\eta }}\right)}}},\quad -\infty <x<+\infty$	$\mu +\eta \ln {\left({\frac {U}{1-U}}\right)}$
パレート分布	$1-\left({\frac {b}{x}}\right)^{a},\quad x\geq b$	${\frac {b}{(1-U)^{1/a}}}$

輻射場のエネルギーと調和振動子

輻射場で満たされた空洞炉内が電荷や電流が存在しない真空であるとする。このとき、電場と磁場は波動方程式を満たし、これは電磁波の伝播を記述する。この電磁波は、波数ベクトル k と偏光の2つの自由度 γ=1,2 で特徴付けられるモードに展開できる。このとき、電磁波のエネルギーは無限個の正準座標{Q_k,γ}と正準運動量{P_k,γ}の組を用いて、調和振動子の集まりとして表すことができる。

まず電場と磁場は、ベクトルポテンシャルによって、記述することができる。クーロンゲージの条件(divA=0)を適用するとベクトルポテンシャル A(r,t) は波動方程式を満たし、

$\mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)=\sum _{\mathbf {k} }(\mathbf {A} _{\mathbf {k} }e^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega _{k}t)}+\mathbf {A} _{\mathbf {k} }^{\ast }e^{-i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega _{k}t)})$

と展開できる。但し、A(r,t) には周期境界条件を課したほか、

$\omega _{k}=c|\mathbf {k} |=ck$

とした。一方、空洞炉内の電磁波のエネルギーは電場 E(r,t)、磁場 B(r,t) によって

$U={\frac {1}{2}}\int \left\{\epsilon _{0}\mathbf {E} ^{2}(\mathbf {r} ,t)+{\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {B} ^{2}(\mathbf {r} ,t)\right\}d^{3}\mathbf {r}$

で与えられる。ここで実の正準変数 Q_k(t), P_k(t) の組を

${\begin{aligned}\mathbf {Q} _{\mathbf {k} }(t)&={\sqrt {\epsilon _{0}V}}(\mathbf {A} _{\mathbf {k} }e^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega _{k}t)}+\mathbf {A} _{\mathbf {k} }^{\ast }e^{-i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega _{k}t)})\\\mathbf {P} _{\mathbf {k} }(t)&={\dot {\mathbf {Q} }}_{\mathbf {k} }(t)\\&=-i\omega _{\mathbf {k} }{\sqrt {\epsilon _{0}V}}(\mathbf {A} _{\mathbf {k} }e^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega _{k}t)}-\mathbf {A} _{\mathbf {k} }^{\ast }e^{-i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega _{k}t)})\end{aligned}}$

で導入すると、U をこれらの正準変数で書き表したハミルトニアン H として

${\begin{aligned}H&=\sum _{\mathbf {k} }H_{\mathbf {k} }\\&=\sum _{\mathbf {k} }{\frac {1}{2}}(\mathbf {P} _{\mathbf {k} }^{\,2}(t)+\omega _{k}^{\,2}\mathbf {Q} _{\mathbf {k} }^{\,2}(t))\end{aligned}}$

が得られる。H_k は調和振動子のハミルトニアンそのものである。

クーロンゲージの条件から波数ベクトル k は A_k と垂直である。 k に垂直で、互いに直交する2つの単位ベクトル e_k,1, e_k,2 を取れば、A_kは

$\mathbf {A} _{\mathbf {k} }=\sum _{\gamma =1,2}A_{\mathbf {k} ,\gamma }\mathbf {e} _{\mathbf {k} ,\gamma }$

と偏光の2自由度に対応する形に展開できる。

質量分析

一様な磁場中の荷電粒子のサイクロトロン運動は磁場型質量分析に応用される。