利用者:Ta2o/sandbox

作業メモ

• Estn's work: non-equiv, fluc of light, ebk
• GLM: May-Moses
• Extrm stat: asymptotic
• FPU: original model, Z-K model, Ford's work
• BE stat:
• partition: examp
• Smflt fine
• LRL

出典テンプレート#関連ツール

下書き

${\hat {S}}_{z}|+\rangle =+{\frac {\hbar }{2}}|+\rangle ,\,{\hat {S}}_{z}|+\rangle =+{\frac {\hbar }{2}}|+\rangle$

スピン1/2の系でスピン演算子はパウリ行列によって、

${\hat {S}}_{x}={\frac {\hbar }{2}}\sigma _{x},\,{\hat {S}}_{y}={\frac {\hbar }{2}}\sigma _{y},\,{\hat {S}}_{z}={\frac {\hbar }{2}}\sigma _{z}$

で与えられ、交換関係

$[{\hat {S}}_{x},{\hat {S}}_{y}]=i\hbar {\hat {S}}_{z},\,[{\hat {S}}_{y},{\hat {S}}_{z}]=i\hbar {\hat {S}}_{x},\,[{\hat {S}}_{z},{\hat {S}}_{x}]=i\hbar {\hat {S}}_{y}$

を満たす。

一般に磁気モーメント ˆμ=γˆS を持つ荷電粒子に磁場 B を印加すると、対応するハミルトニアンは

${\hat {H}}=-{\hat {\mathbf {\mu } }}\cdot \mathbf {B} =-\gamma {\hat {\mathbf {S} }}\cdot \mathbf {B}$

で与えられる。但し、γ は磁気回転比であり、電子については、ボーア磁子 μ_B=eħ/2m_e とg 因子 g によって γ=gμ_B/ħで表される。よって、磁場中の電子スピンのハミルトニアンは

${\hat {H}}=-{\frac {e}{m_{e}}}{\hat {\mathbf {S} }}\cdot \mathbf {B}$

となる。

一覧

分布	$F(x)$	$X=F^{-1}(U)$
指数分布	$1-\exp {\left(-{\frac {x}{\mu }}\right)},\quad x\geq 0$	$-\mu \ln {(1-U)}$
ワイブル分布	$1-\exp {\left(-\left({\frac {x}{\eta }}\right)^{\beta }\right)},\quad x\geq 0$	$\eta ((-\ln {(1-U)})^{1/\beta }$
ガンベル分布	$\exp {\left(-\exp {\left(-\left({\frac {x-\mu }{\eta }}\right)\right)}\right)},\quad -\infty <x<+\infty$	$\mu -\eta \ln {(-\ln {U})}$
コーシー分布	${\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\pi }}\arctan {\frac {x}{\eta }},\quad -\infty <x<+\infty$	$\eta \tan {\pi \left(U-{\frac {1}{2}}\right)}$
ロジスティック分布	${\frac {1}{1+\exp {\left(-{\frac {x-\mu }{\eta }}\right)}}},\quad -\infty <x<+\infty$	$\mu +\eta \ln {\left({\frac {U}{1-U}}\right)}$
パレート分布	$1-\left({\frac {b}{x}}\right)^{a},\quad x\geq b$	${\frac {b}{(1-U)^{1/a}}}$

輻射場のエネルギーと調和振動子

輻射場で満たされた空洞炉内が電荷や電流が存在しない真空であるとする。このとき、電場と磁場は波動方程式を満たし、これは電磁波の伝播を記述する。この電磁波は、波数ベクトル k と偏光の2つの自由度 γ=1,2 で特徴付けられるモードに展開できる。このとき、電磁波のエネルギーは無限個の正準座標{Q_k,γ}と正準運動量{P_k,γ}の組を用いて、調和振動子の集まりとして表すことができる。

まず電場と磁場は、ベクトルポテンシャルによって、記述することができる。クーロンゲージの条件(divA=0)を適用するとベクトルポテンシャル A(r,t) は波動方程式を満たし、

$\mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)=\sum _{\mathbf {k} }(\mathbf {A} _{\mathbf {k} }e^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega _{k}t)}+\mathbf {A} _{\mathbf {k} }^{\ast }e^{-i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega _{k}t)})$

と展開できる。但し、A(r,t) には周期境界条件を課したほか、

$\omega _{k}=c|\mathbf {k} |=ck$

とした。一方、空洞炉内の電磁波のエネルギーは電場 E(r,t)、磁場 B(r,t) によって

$U={\frac {1}{2}}\int \left\{\epsilon _{0}\mathbf {E} ^{2}(\mathbf {r} ,t)+{\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {B} ^{2}(\mathbf {r} ,t)\right\}d^{3}\mathbf {r}$

で与えられる。ここで実の正準変数 Q_k(t), P_k(t) の組を

${\begin{aligned}\mathbf {Q} _{\mathbf {k} }(t)&={\sqrt {\epsilon _{0}V}}(\mathbf {A} _{\mathbf {k} }e^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega _{k}t)}+\mathbf {A} _{\mathbf {k} }^{\ast }e^{-i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega _{k}t)})\\\mathbf {P} _{\mathbf {k} }(t)&={\dot {\mathbf {Q} }}_{\mathbf {k} }(t)\\&=-i\omega _{\mathbf {k} }{\sqrt {\epsilon _{0}V}}(\mathbf {A} _{\mathbf {k} }e^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega _{k}t)}-\mathbf {A} _{\mathbf {k} }^{\ast }e^{-i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega _{k}t)})\end{aligned}}$

で導入すると、U をこれらの正準変数で書き表したハミルトニアン H として

${\begin{aligned}H&=\sum _{\mathbf {k} }H_{\mathbf {k} }\\&=\sum _{\mathbf {k} }{\frac {1}{2}}(\mathbf {P} _{\mathbf {k} }^{\,2}(t)+\omega _{k}^{\,2}\mathbf {Q} _{\mathbf {k} }^{\,2}(t))\end{aligned}}$

が得られる。H_k は調和振動子のハミルトニアンそのものである。

クーロンゲージの条件から波数ベクトル k は A_k と垂直である。 k に垂直で、互いに直交する2つの単位ベクトル e_k,1, e_k,2 を取れば、A_kは

$\mathbf {A} _{\mathbf {k} }=\sum _{\gamma =1,2}A_{\mathbf {k} ,\gamma }\mathbf {e} _{\mathbf {k} ,\gamma }$

と偏光の2自由度に対応する形に展開できる。

質量分析

一様な磁場中の荷電粒子のサイクロトロン運動は磁場型質量分析に応用される。

系がエネルギーEの状態を取る確率は

$p(E)={\frac {g_{E}e^{-\beta E}}{Z}}$

で与えられる。ここでg_Eは縮態度である。系が取りうるエネルギーEにわたる分子の和は

$\sum _{E}g_{E}e^{-\beta E}=\sum _{\omega \in \Omega }e^{-\beta E(\omega )}=Z$

であり、確率P(E)の和は1に規格化される。物理量Aの期待値は

$\langle A\rangle =\sum _{E}A(E)p(E)={\frac {1}{Z}}\sum _{E}g_{E}A(E)e^{-\beta E}$

となる。特にEについては、

$\langle E\rangle ={\frac {1}{Z}}\sum _{E}g_{E}Ee^{-\beta E}=-{\frac {1}{Z}}{\frac {\partial Z}{\partial \beta }}=-{\frac {\partial \ln {Z}}{\partial \beta }}$

で与えられる。

hoge

• Wagner, Wolfgang; Pruss, A. (1993-05-01). “International Equations for the Saturation Properties of Ordinary Water Substance. Revised According to the International Temperature Scale of 1990. Addendum to J. Phys. Chem. Ref. Data 16 , 893 (1987)”. Journal of Physical and Chemical Reference Data 22 (3): 783–787. doi:10.1063/1.555926. ISSN 0047-2689. 

• Wagner, W.; Pruß, A. (2002-06-01). “The IAPWS Formulation 1995 for the Thermodynamic Properties of Ordinary Water Substance for General and Scientific Use”. Journal of Physical and Chemical Reference Data 31 (2): 387–535. doi:10.1063/1.1461829. ISSN 0047-2689. 

1990年国際温度目盛（せんきゅうひゃくきゅうじゅうねんこくさいおんどめもり、英: International Temperature Scale of 1990）は国際度量衡委員会によって定められた、国際的に標準化された温度目盛。ITS-90と略される。1989年の国際度量衡員会で採択され、1990年1月1日から施行された。1968年国際実用温度目盛（IPTS-68）および1976年暫定温度目盛（EPT-76）は、このITS-90によって置き換えられた。ITS-90は熱力学的温度を実用的な形で精度よく再現するための手法を与え、0.65 K（-272.5°C）から1358 K（1,084.85°C）までの広範囲の温度をカバーしている。そのために温度の基準点となるいくつかの温度定点を水銀や金などの純粋な物質の相転移（凝固点や融点）によって、定義している。各温度定点の間の温度を補間するために、白金抵抗温度計、気体温度計、放射温度計などの温度計が採用されている。