利用者:Tom Toyosaki/sandbox

英訳

書誌的情報の記載例

表.書誌的情報の記載例（和文）及び英訳

＃	原文(Original text)	英訳(English translation)	備考(Notes)
1	やはり血清タンパクと、グロスファクターの両方がX細胞の無血清培養には必要かもしれない	Both serum proteins and growth factors may be essential for serum free X cell cultivation.	和文タイトルはライトノベルのタイトルのようで恐縮だが、特に生物系の論文の英文タイトルとしてありがちなパタン（大雑把な結論を一文で書く）をそのまま和訳するとこんな感じになることが多い。X細胞は架空の細胞。
2	薮崎 まどか*1, 飛騨 延珠*2, 綾瀬 Herminium みさお*1†,　洞爺　満*1	Madoka Yabusaki*1, Enjyu Hidaka*2, Misao Ayase Herminium*1†, and Michiru Touya*1	著者の一覧。*1,*2のような所属を指示する記号（#3参照）と、コレスポンディングオーサーが誰であるかを指示する記号†(#4参照)に注意。詳細は、論文の投稿規定に従うこと。当然、全員架空の研究者である。
3	*1東京西北大学 理学部, *2（株）星月技研工業	*1 Facility of Science, Tokyo Seihoku University. *2 Hozuki　Giken Co.,Ltd.	著者の所属機関を書く。併せて住所が書かれることも多い。当然、すべて架空の機関である。「さきがけ」等のグラント上の所属機関がさらに追加されることもある。 尚、今回はあまり詳しいことを述べないが、特に企業の研究者が共著者に入っている場合には、利益相反に注意のこと。
4	連絡先† misao@xxx.com	Contact† misao@xxx.com	コレスポンディングオーサーの連絡先。架空のメールアドレス

注：本記載は、飽く迄「学術論文における書誌的情報」を例示するために記載されたものである。原文英訳共、架空の設定に基づく架空の結果である。（Abovementioned are solely intended to a illustrate how to write the hedder part of academic paper. All descriptions of both Original text(column 1) and English translation (column 1) are based on hypothetical data. )

アブスト

表.アブストラクトの記載例（和文）及び英訳

＃	原文(Original text)	英訳(English translation)	備考(Notes)
1	X細胞の培養のための、新しい無血清培地及び、無血清の培養手法について報告する。	A novel serum-free cell culture medium and methods for cultivating X cells are reported.	この論文にはどのようなことが書かれているかを一言でまとめたような表現が、アブストラクトの冒頭に来ることが多い。”X細胞”というのは、架空の細胞である。因みに、「細胞を培養するためには、シャーレ撒かれた細胞が、培地といわれる液体の中に浸った状態でなければならない。培地の成分として、ウシ胎児血清(FBS)等の血清がなんらかの処理をされた状態で添加されている。普通は血清を添加したほうが培養が簡単なのだが、血清は汚染されていることがあるなどデメリットもある。そこで血清を使わない培地に関心がもたれている。」といった背景知識を知っておくと、以下の文章の流れが頭に入ってきやすいであろう。
2	X細胞を無血清培地で培養する方法が徐々に開発されつつある。	Methods of Cultivating X cells in a serum-free medium are gradually being developed.	自分が研究している分野や対象（この場合は「X細胞に適した無血清培地を作ること」）の研究動向を簡単に述べている。「背景」に相当する。
3	しかしながら、これまでの無低血清培地では、１０％血清含有培地と比較して、長期間に渡った培養ができなかった。	However, long-term cultivation has not been possible with the serum-free media to date in comparison with media containing 10% serum.	「背景」で述べた研究動向において、何が問題なのかを説明している。”to date”というのは「これまでの」という意味。 [追加例文]”However, to date, lymphocytes engineered to express CARs have demonstrated minimal in vivo expansion and antitumor effects in clinical trials.(しかしながら、今日までのところ、CARを発現するように改変されたリンパ球は、臨床試験においては、最低限度のインビボでの増殖と、最低限度の抗腫瘍効果しか示せていない。)”
4	細胞を長期間に渡って安定した条件で培養出来ることは、細胞を増殖させ大量の細胞を得るうえで重要である。	Being able to perform long-term cultivation of cells under stable conditions is important in proliferating and gaining large numbers of cells.	上記の問題が、何故重要なのかを説明している。
5	本研究では、血清中のタンパク成分(血清タンパク)の影響を研究した。さらに、どの血清タンパクがX細胞の安定した培養に必要であるかを検討した。	In this study, we have investigated the affection of the proteins ingredients in serum (serum protein) and examines which serum protein is necessary in stable cultivation for X cells.	研究の目的（何を明らかにするのか）を説明している。"we have investigated"はよく使う言い廻し。
6	結果としてX細胞培養する際には、培地中に血清タンパクM,Nを加えることが好ましいと判明した。	As a result, we have determined that it is preferable to add serum proteins M and N into the medium when cultivating X cells.	研究の結果得られた知見を紹介している。血清タンパクM,Nは、架空の物質。
7	さらに、上記の血清タンパク成分に加えて、成長因子であるA,B,Cを加えることで、１０％血清含有培地において培養した場合と同等又はそれ以上の速度で、X細胞をその特性を保持したまま増殖させることができることを見出した。	Furthermore, we found that we are able to proliferate X cells while maintaining their specific characteristics at the same or greater speed as when cultivating in a medium containing 10% serum by adding growth factors A, B, and C in addition to the aforementioned serum protein ingredients.	研究の結果得られた知見を紹介している。成長因子A,B,Cも、架空の物質。
8	意外にも、成長因子であるA,B,Cの好適な組成は、血清タンパクM,Nを加えない条件において好適とされていた組成とは大きく異なることが判った。	Surprisingly, we learned that the ideal composition of growth factors A, B, and C are markedly different from the compositions thought to be ideal when serum proteins M and N are not included.	研究の結果得られた知見を紹介している。
9	また、本方法にて培養したX細胞を軟骨に分化させることにも成功した。	Additionally, we succeeded in differentiating X cells cultivated by this method into cartilage.	研究の結果得られた知見を紹介している。

注：本記載は、飽く迄「学術論文におけるアブストラクトの書き方」を例示するために記載されたものである。原文英訳共、架空の設定に基づく架空の結果である。（Abovementioned are solely intended to a illustrate how to write abstract in academic paper. All descriptions of both Original text(column 1) and English translation (column 1) are based on hypothetical data. )

イントロ

表.イントロダクションの記載例（和文）及び英訳

＃	原文(Original text)	英訳(English translation)	備考(Notes)
1	無血清の条件下であっても、１０％血清含有培地を用いる従来の培養方法に匹敵するようなX細胞の培養手法を見出したので報告する。	In this paper, a novel serum free X cell cultivation method which allows, although under conditions of no serum, comparable to the conventional cultivation method which uses a medium containing 10% serum.	研究の成果を一言でまとめた一文が、イントロダクションの冒頭に書かれることがよくある。
2	X細胞は、ヒトの骨髄から採取される体性幹細胞である。	X cells are somatic stem cells that are collected from human bone marrow.	研究対象がどんなものなのかを、由来という観点から説明している。
3	X細胞は、軟骨や神経に分化することが知られており、自家移植治療、(患者から採取した細胞を培養後に同じ患者へと戻す治療法)において有用性が期待される。	It is know that X cells differentiate into cartilage and nerves, and they are expected to be of use in autograph treatments (in other words, treatment in which cells are collected from a patient and then returned to the same patient after cultivation).	研究対象がどのようなものであるかを、「どう（世の中の）役立つのか」から説明している。
4	X細胞を無血清/低血清培地で培養する方法が、徐々に開発されつつある。	Methods for cultivating X cells in serum-free or low-serum media are gradually being developed.	関連する先行研究の動向を一言でまとめている。
5	例えば、戸松らはＤＭＥＭ培地に増殖因子A,B,Cを所定の割合で加えた培地において、X細胞は、3継代目まではＤＭＥＭ培地に10%ウシ胎児血清（FBS）を加えた条件とほぼ同程度の増殖速度で増殖することを見出した。	For example, Tomatsu et.al reported that, in a DMEM medium which included the designated ratio of growth factors A, B, and C, X cells proliferated, up to the third subculture, at a growth speed roughly equal to that of conditions in which 10% fetal bovine serum (FBS) is added to the DMEM medium.	「戸松」は架空の学者名。”et.al”は”その他”という意味。ＤＭＥＭは実在する有名な基礎培地。
6	雨宮らは、ＭＣＤＢとＤＭＥＭとを１：１の比率で混合した培地を基礎培地とすることが望ましいことを見出した。	Amamiya et.al reported that it is preferable to use a mixed medium of equal parts MCDB and DMEM as a basal medium.	「雨宮」も架空の学者名。#5と併せてみるとこの研究の先行研究の流れとして「戸松らの研究→雨宮らの研究」という一つの流れがあることがわかるであろう。研究というのは、「先行研究の設定条件を少しだけ変えてみて、どのような結果になるのか」という積み重ねである。 注意すべきは、「戸松」と「雨宮」の人間的な評価にならないようすべきということである。即ち、「戸松の研究の改良版が雨宮の研究」であるいう文脈性を与えるが、不注意な書き方をして「雨宮は戸松のまねをしてちょっとよくやった」、「戸松より雨宮のほうがすぐれている。」というような、先行研究の実行者に不快感を与えるような価値判断が入らないように細心の注意をすべきである
7	また小倉らは、10%ウシ胎児血清（FBS）を60℃で10分間処理したものをＤＭＥＭ培地に加えた培地では、ＤＭＥＭ培地に何も加えない場合と同様、X細胞は1継代を待たず死滅することを報告した。	「小倉」も架空の研究者である。小倉は、戸松や雨宮とは異なる流れから、この問題に研究していることが判る。小倉の研究は、あまりポジティブな結果でないように見えるが、「あまりうまくいかなかった」ということが重要な意味を持つ場合には重要な論文になる場合もある。
8	水瀬らは、小倉らと同様の「10%FBSを60度で10分間処理したものを、ＤＭＥＭ培地に加えた培地」に対し、戸松らと同様の組成で増殖因子A,B,Cを添加した場合、3継代以降における増殖速度においても、戸松らや雨宮らの結果に比べ大幅な改善が見出せることを示している。	Minase et.al indicated that, compared with the results of Tomatsu et.al and Amamiya et.al, major improvements are detectable even in growth speed from the third subculture when growth factors A, B, and C are added with the same composition as Tomatsu et.al in contrast with the same DMEM medium used by Ogura et.al in which 10% FBS treated at 60℃ for ten minutes was added.	「水瀬」も架空の研究者である。大学や大学院入試の「考察問題」風に書けば「戸松、雨宮、小倉、水瀬の研究を比較したときにどのようなことがいえるか考察せよ」のような問題が、問題意識にあることが判る。こういった問題意識から導かれる仮説を検証するために実験が行われ、実験結果を併せて考察が組み立てられるのである。
9	しかしながら、水瀬らの条件においても、X細胞の3継代以降における増殖速度は、加熱処理を加えない10%FBSを含む培地に比べ劣っていると言わざるを得ない。	However, we have to say that the growth speed of X cells from the third subculture is inferior compared with a medium including 10% FBS that has not been heat treated, even under the conditions of Minase et.al.
10	以上の先行研究を踏まえると、特に3継代以降における増殖速度は、60度で10分間処理にて熱変性し、失活する高分子のタンパク成分の濃度に支配されることが示唆される。	The aforementioned prior research suggests that the growth speed from the third subculture in particular is controlled by the concentration of devitalizing protein ingredients in macromolecules for which heat denaturation occurs when treating at 60℃ for ten minutes.	あまり具体的ではないが、#8の「考察問題」の簡潔な答えがここに書かれている。
11	一方、最近竹達らにより、培養中の細胞の状態を、無染色の状態でも画像処理にてリアルタイムにモニタリングする効率の良い培養細胞モニタリング手法が開発された。	On the other hand, recently Taketatsu et.al developed an effective method for monitoring cultivating cells that allows real-time monitoring of cells status during cultivation through image processing even when no dye is used.	「竹達」も架空の研究者である。自分の研究をデザインをするうえで、手法面で重要な貢献のある研究も適宜引用される。
12	竹達らの手法によると、培養中の細胞のコンフルエンシーとバイアビリティー（生存率）がそれぞれ何%であるかが、リアルタイムで非侵襲に測定可能である。	Using the method of Taketatsu et.al, it is possible to measure the percentage of confluency and viability of cells during cultivation (survival rate) noninvasively in real-time.	何故竹達の手法を採用したのかを述べている。
13	そこで、本研究では、60度で10分間処理にて熱変性し、失活する高分子のタンパク成分のうち、どの成分が必須であるかを、竹達らの培養細胞モニタリング手法にて観察することにした。	Therefore, in this study, we chose to observe which of the ingredients in the devitalizing protein ingredients in macromolecules for which heat denaturation occurs when treating at 60℃ for ten minutes are essential using the cell cultivation monitoring method from Taketatsu et.al.	本研究の目的を簡潔に述べている。
14	意外にも、主だった高分子の血清タンパク成分をヒト血清と同程度の濃度で加えたとしても、X細胞の培養は困難であった。しかしながら、血清タンパクのうち、M,Nが重要な役割を演じているようであった。	Surprisingly, the cultivation of X cells was difficult even when adding serum protein ingredients in the main macromolecules at the same concentration level as in human serum.However, it seems that, among them, the serum protein M and N seems to play key role.	#11の答えがクリアカットでない理由の一つがここであろうと示唆されよう。筆者らは「血清成分を熱変性で壊さなければ、大量に成長因子を加えるような真似はしなくてもよいのでは」ぐらいに考えていたのであろうが（という設定なのだが）…。”主だった”というのも歯切れが悪い。多分、大それた仮説を言えるほどまでの完全な実験はできていないのだろうと示唆される。しかし、その状況であっても重要な知見があれば、論文にして、いち早く公表する価値があるのだ。 また、この論文の結果を吟味するに当たり、何を根拠に「血清タンパクのうち、M,Nが重要な役割を演じているようであった。」と考えたのかについては、注視すべきであろう。
15	そこで、さらに、前記のM,Nに加え、戸松らが見出した増殖因子A,B,Cも培地中に加えたところ、10%FBS(非加熱)と同程度の効果が得られた。	Then, when we further added growth factors A, B, and C reported by Tomatsu et.al into the medium in addition to the serum protein ingredients M and N, we were able to achieve results comparable to 10% FBS (unheated) .	これが、一番の主結果である。恐らくは、「A,B,Cでも、「”主だった”と決めつけた血清成分」でもない未知の、熱に弱い成分」が、本当は重要なのだが、それがなかったとしても「A,B,Cや、”主だった”血清成分」を適切な濃度（生理濃度とは異なる）で添加すればうまくいくということが言いたいのであろう（という設定）である。
16	しかしながら至適なM,Nの濃度は、M,Nのヒト血清中の濃度よりも２桁高かった。さらに、成功した条件、即ち高濃度のM,Nの存在下では、好適なA,B,Cの濃度は、戸松らによって示された濃度とも異なった。	However, optimal concentration of M and N are two orders of magnitude higher than the concentration in the human blood thereof. Furthermore, on the succeeded condition that is under existence of the high concentration M and N, suitable concentration of A,B, and C are not similar to that of reported by Tomatsu, et al.
17	さらに、上記の組成の培地にて培養したX細胞が、軟骨に分化することにも成功した。	Additionally, we also succeeded that X cells cultivated in medium with the aforementioned composition differentiate into cartilage.	これは、「本来の目的（軟骨を作る）にも使えたよ」ということが言いたいのだろう。

注：本記載は、飽く迄「学術論文におけるイントロダクションの書き方」を例示するために記載されたものである。原文英訳共、架空の設定に基づく架空の結果である。（Abovementioned are solely intended to a illustrate how to write abstract in academic paper. All descriptions of both Original text(column 1) and English translation (column 1) are based on hypothetical data. )

UC

表.アブストラクトの記載例（和文）及び英訳

＃	原文(Original text)	英訳(English translation)	備考(Notes)
1	あ	い	い
2	あ	い	い

注：本記載は、飽く迄「学術論文におけるアブストラクトの書き方」を例示するために記載されたものである。原文英訳共、架空の設定に基づく架空の結果である。（Abovementioned are solely intended to a illustrate how to write abstract in academic paper. All descriptions of both Original text(column 1) and English translation (column 1) are based on hypothetical data. )

分数関数の微分

首記の件について解説する。必要に応じ、 例えば北川p27,P39付近を参照のこと。

分数関数の微分（１）

分数関数の偏微分と勾配ベクトル場について解説する。 $\mathbb {R} ^{3}$上の点 ${\mathfrak {R}}=(x,y,z)$ $\mathbf {r} =({x}_{\mathbf {r} },{y}_{\mathbf {r} },{z}_{\mathbf {r} })$, $\mathbf {s} =({x}_{\mathbf {s} },{y}_{\mathbf {s} },{z}_{\mathbf {s} })$ を考える。

$|{\mathfrak {R}}|\neq 0$において、

${\frac {\partial }{x}}\left[{\frac {1}{|{\mathfrak {R}}|}}\right]={\frac {\partial }{\partial {x}_{\mathbf {r} }}}\left[{({x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2})}^{-1/2}\right]={\frac {-1}{2}}(2{x}){({x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2})}^{-3/2}={\frac {-x}{{|{\mathfrak {R}}|}^{3}}}$　(S4-1-1a)

が成り立つ。同様に、

${\frac {\partial }{\partial y}}\left[{\frac {1}{|{\mathfrak {R}}|}}\right]={\frac {-y}{{|{\mathfrak {R}}|}^{3}}}$　(S4-1-1b)

${\frac {\partial }{\partial z}}\left[{\frac {1}{|{\mathfrak {R}}|}}\right]={\frac {-z}{{|{\mathfrak {R}}|}^{3}}}$　(S4-1-1c)

${grad}\left[{\frac {1}{|{\mathfrak {R}}|}}\right]={\frac {\mathfrak {R}}{{|{\mathfrak {R}}|}^{3}}}$　(S4-1-1d)

である。従って、式(S4-1-1)それぞれに、 ${\mathfrak {R}}=\mathbf {r} -\mathbf {s}$を代入すると $|\mathbf {r} -\mathbf {s} |\neq 0$において、

${\frac {\partial }{\partial {x}_{\mathbf {r} }}}\left[{\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {s} |}}\right]={\frac {-({x}_{\mathbf {r} }-{x}_{\mathbf {s} })}{{|\mathbf {r} -\mathbf {s} |}^{3}}}$　(S4-1-2a)

${\frac {\partial }{\partial {y}_{\mathbf {r} }}}\left[{\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {s} |}}\right]={\frac {-({y}_{\mathbf {r} }-{y}_{\mathbf {s} })}{{|\mathbf {r} -\mathbf {s} |}^{3}}}$　(S4-1-2b)

${\frac {\partial }{\partial {z}_{\mathbf {r} }}}\left[{\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {s} |}}\right]={\frac {-({z}_{\mathbf {r} }-{z}_{\mathbf {s} })}{{|\mathbf {r} -\mathbf {s} |}^{3}}}$　(S4-1-2c)

${grad}_{\mathbf {r} }\left[{\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {s} |}}\right]={\frac {-(\mathbf {r} -\mathbf {s} )}{{|\mathbf {r} -\mathbf {s} |}^{3}}}$　(S4-1-2d)

が得られる。同様に、式(S4-1-1)それぞれに、 ${\mathfrak {R}}=\mathbf {s} -\mathbf {r}$を代入すると $|\mathbf {r} -\mathbf {s} |\neq 0$において、

${\frac {\partial }{\partial {x}_{\mathbf {s} }}}\left[{\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {s} |}}\right]={\frac {({x}_{\mathbf {r} }-{x}_{\mathbf {s} })}{{|\mathbf {r} -\mathbf {s} |}^{3}}}$　(S4-1-3a)

${\frac {\partial }{\partial {y}_{\mathbf {s} }}}\left[{\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {s} |}}\right]={\frac {({y}_{\mathbf {r} }-{y}_{\mathbf {s} })}{{|\mathbf {r} -\mathbf {s} |}^{3}}}$　(S4-1-3b)

${\frac {\partial }{\partial {z}_{\mathbf {s} }}}\left[{\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {s} |}}\right]={\frac {({z}_{\mathbf {r} }-{z}_{\mathbf {s} })}{{|\mathbf {r} -\mathbf {s} |}^{3}}}$　(S4-1-3c)

${grad}_{\mathbf {s} }\left[{\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {s} |}}\right]={\frac {(\mathbf {r} -\mathbf {s} )}{{|\mathbf {r} -\mathbf {s} |}^{3}}}$　(S4-1-3d)

も判る（(S4-1-2) と符号が逆転していることに注意）。

分数関数の微分（２）

$\mathbb {R} ^{3}$上の点 ${\mathfrak {R}}=(x,y,z)$ $\mathbf {r} =({x}_{\mathbf {r} },{y}_{\mathbf {r} },{z}_{\mathbf {r} })$, $\mathbf {s} =({x}_{\mathbf {s} },{y}_{\mathbf {s} },{z}_{\mathbf {s} })$ を考える。

$|{\mathfrak {R}}|\neq 0$において、

${\frac {\partial }{\partial {x}_{\mathbf {r} }}}\left[{\frac {1}{{|{\mathfrak {R}}|}^{2}}}\right]={\frac {\partial }{\partial {x}}}\left[{({x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2})^{-1}}\right]$

$=(-2{x}){({x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2})}^{-2}={\frac {-2({x})}{{|{\mathfrak {R}}^{2}|}^{4}}}$　(S4-2-1a)

が成り立つ。同様に、

${\frac {\partial }{\partial y}}\left[{\frac {1}{|{\mathfrak {R}}|^{2}}}\right]={\frac {-2y}{{|{\mathfrak {R}}|}^{4}}}$　(S4-2-1b)

${\frac {\partial }{\partial z}}\left[{\frac {1}{|{\mathfrak {R}}^{2}|}}\right]={\frac {-2z}{{|{\mathfrak {R}}|}^{4}}}$　(S4-2-1c)

$grad\left[{\frac {1}{|{\mathfrak {R}}|}}\right]={\frac {-2{\mathfrak {R}}}{{|{\mathfrak {R}}|}^{4}}}$　(S4-2-1d)

である。従って、式(S4-1-1)それぞれに、 ${\mathfrak {R}}=\mathbf {r} -\mathbf {s}$を代入すると $|\mathbf {r} -\mathbf {s} |\neq 0$において、

${grad}_{\mathbf {r} }\left[{\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {s} |}}\right]={\frac {-2(\mathbf {r} -\mathbf {s} )}{{|\mathbf {r} -\mathbf {s} |}^{4}}}$　(S4-2-2)

が得られる。同様に、式(S4-1-1)それぞれに、 ${\mathfrak {R}}=\mathbf {s} -\mathbf {r}$を代入すると $|\mathbf {r} -\mathbf {s} |\neq 0$において、

${grad}_{\mathbf {s} }\left[{\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {s} |}}\right]={\frac {2(\mathbf {r} -\mathbf {s} )}{{|\mathbf {r} -\mathbf {s} |}^{4}}}$　(S4-2-3)

も判る（(S4-2-2) と符号が逆転していることに注意）。

分数関数の微分（３）

以下の偏微分は、特に本編(2-4-18) の式変形の過程で使うため解説する。$\mathbb {R} ^{3}$上の点 ${\mathfrak {R}}=(x,y,z)$ $\mathbf {r} =({x}_{\mathbf {r} },{y}_{\mathbf {r} },{z}_{\mathbf {r} })$, $\mathbf {s} =({x}_{\mathbf {s} },{y}_{\mathbf {s} },{z}_{\mathbf {s} })$ を考える。

${\frac {\partial }{\partial {x}}}\left[{\frac {x}{|{\mathfrak {R}}|}}\right]={\frac {1}{{|{\mathfrak {R}}|}^{2}}}{\frac {\partial }{\partial {x}}}\left[{\frac {1}{{|{\mathfrak {R}}|}^{2}}}\right]$

$={\frac {1}{{|{\mathfrak {R}}|}^{2}}}{\frac {\partial }{\partial {x}_{\mathbf {s} }}}\left[{({x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2})}^{-1}\right]$ $={\frac {1}{{|\mathbf {r} -\mathbf {s} |}^{2}}}+{x}_{\mathbf {s} }{\frac {\partial }{\partial {x}_{\mathbf {s} }}}\left[{({x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2})}^{-1}\right]$ (S4-2-1)

$div_{\mathbf {r} }\left[{\frac {\mathbf {r} }{{|\mathbf {r} |}^{3}}}\right]={\frac {3}{|\mathbf {r} |^{3}}}-{\frac {3{|\mathbf {r} |}^{2}}{{|\mathbf {r} |}^{5}}}=0$

従って、 grad[]= ()

が判る。

一方、式()に、式()と()をさらに考えあわせると、

$divgrad[{\frac {1}{r}}]=-4\pi {\delta }(r)$ が判る。