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ポール・ハルモス
ポール・ハルモス;
生誕	1916年3月3日; ブダペスト, オーストリア＝ハンガリー帝国
死没	2006年10月2日（90歳没）; ロスガトス_(カリフォルニア州), U.S.
国籍	ハンガリー系アメリカ人
研究分野	数学
研究機関	シラキュース大学; シカゴ大学; ミシガン大学; インディアナ大学; サンタクララ大学
出身校	プリンストン高等研究所; イリノイ大学
博士課程; 指導教員	en:Joseph L. Doob
博士課程; 指導学生	en:Errett Bishop; en:H. Arlen Brown; en:Bernard Galler; en:Don Hadwin; en:Eric Nordgren; en:Herman Rubin; en:Donald Sarason; en:V. S. Sunder
主な受賞歴	ショーヴネ賞 (1947); en:Lester R. Ford Award (1971,1977); スティール賞 (1983)
	プロジェクト:人物伝
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ポール・リチャード・ハルモスPaul Richard Halmos (英語:Paul Richard Halmos, ハンガリー語:Halmos Pál, 1916年3月3日 – 2006年10月2日) はユダヤ系ハンガリー人として生れたアメリカの数学者である。数理論理学, 確率論, 統計学, 作用素論, エルゴード理論, 関数解析学 (特にヒルベルト空間論)に基礎的な貢献をした。彼はまた数学を見事に伝えることのできる数学者(great mathematical expositor)として広く認められている。

生い立ちと教育[編集]

13歳のときにアメリカに移民したが、生涯ハンガリー語のアクセントがあった。学士位(B.A.)をイリノイ大学アーバナ・シャンペーン校から得る。数学専攻であったが数学と哲学双方の学位取得条件を満していた。わずか三年で学位を得たため卒業したときはまだ19歳であった。その後en:Champaign-Urbanaキャンパスにとどまり哲学の博士課程に進んだ。しかし、修士課程の口頭試験に不合格になり^[1] 、専攻を数学に変え1938年に卒業した。指導教官はen:Joseph L. Doob、博士論文の題は Invariants of Certain Stochastic Transformations: The Mathematical Theory of Gambling Systems (ある種の確率的変換の不変量：ギャンブルのシステムの数学的理論)であった。^[2]

経歴[編集]

卒業後すぐに職も助成金も得られないままプリンストン高等研究所に異動する。半年後、ジョン・フォン・ノイマンの下で働くことになるが、これはハルモスにとって決定的な経験となった。高等研究所に所属している間にハルモスは初の著書Finite Dimensional Vector Spacesを著す。これによりすぐに彼は数学の優れた説明者としての評判を確固たるものとした。^[3]

ハルモスはシラキュース大学, シカゴ大学 (1946–60),ミシガン大学 (〜1961–67)カリフォルニア大学サンタバーバラ校 (1976–78), ハワイ大学システム, and インディアナ大学で数学を教えた。 1985年インディアナ大学から引退の後は死去まで所属はサンタクララ大学の数学科にあった。

業績[編集]

1962年の著書 Algebraic Logic にリプリントされている一連の論文でハルモスはen:polyadic algebraを提案した。polyadic algebraは一階述語論理の代数版であり、よりよく知られているアルフレト・タルスキとその弟子達によるen:Cylindric algebraとは異なる。polyadic algebraの初等的なものは記事en:monadic Boolean algebraで説明されている。

研究によるオリジナルな貢献に加え、ハルモスは説明が非常に明快で人をひきつける大学レベルの数学の教科書を書いたことで知られる。en:Lester R. Ford Award を1971年^[4]さらに再び1977年(W. P. Ziemer, W. H. Wheeler, S. H. Moolgavkar, J. H. Ewing, W. H. Gustafsonと共同で)受賞している。^[5] 1973年に出版された学術レベルでの数学に関するAMSスタイルガイドを著したアメリカ数学会(AMS)の委員会でハルモスは議長をつとめた。1983年には数学の優れた解説、説明的な著述に対しあたえられるAMS's Steele Prize for Mathematical Expositionを受賞している。

American Scientist 56(4): 375–389でハルモスは数学は創造的な芸術であり、数学者は数をいじる職業(number cruncher)ではなく芸術家と捉えられるべきだと議論している。彼は数学をmathologyとmathophysicsに分けて考るべきだと主張し、更に数学者と画家の考え方や仕事の仕方はよく似通っていると議論している。

1985年の著書である"automathography"(数学的自伝。数学mathと自伝autobiographyをもとにした造語) I Want to Be a Mathematician では20世紀の数学者として生きるとはどういうことであるかについて書かれている。ハルモスがこの本を自伝"autobiography"でなく"automathography"と呼んだのは、本の中心が私的生活ではなく数学者としての人生であるからである。この本にはハルモスにとって数学をするとはどういうことであったかを示す次の言葉がある。

ただ読むだけではいけない。闘うのだ！自分自身で質問を考え、答えようとするのだ。自分自身で例を、自分自身の証明を発見するのだ。仮定は必要か？逆は正しいか？有名な特別な例についてはどうなっている？縮退している場合はどうか？証明のどこに仮定が使われているだろうか？
(原文:Don't just read it; fight it! Ask your own questions, look for your own examples, discover your own proofs. Is the hypothesis necessary? Is the converse true? What happens in the classical special case? What about the degenerate cases? Where does the proof use the hypothesis?)

(数学者になるには)何が必要だろうか？私は答えを知っているように思う。生来の資質は必要だ。常に完璧を目指すよう心掛けなければならない。数学をそれ以外の何にもまして愛さねばならない。休むことなく努力し、そして決して諦めてはならない。
What does it take to be [a mathematician]? I think I know the answer: you have to be born right, you must continually strive to become perfect, you must love mathematics more than anything else, you must work at it hard and without stop, and you must never give up.

Paul Halmos, 1985

これらの自伝でハルモスは必要十分条件をあらわす言葉"if and only if"を短縮した記号"iff"を発明し、また墓石記号を証明の最後を示すものとして初めて使った ^[6]としている。この主張は広く受けいれられている。墓石記号 ∎ (Unicode U+220E) はときにhalmos.と呼ばれる。^[7]

2005年には妻のヴァージニアとともにen:Euler Book Prizeを創設する。これは一年に一回 en:Mathematical Association of Americaにより一般の人(公衆)の数学に対する見方を向上させるであろうような本に与えられる賞である。この賞が初めて授与されたのはレオンハルト・オイラーの生誕300周年である2007年、en:John Derbyshireによるベルンハルト・リーマンとリーマン予想についての著書 en:Prime Obsessionに対してであった。^[8]

著書[編集]

1942. Finite-Dimensional Vector Spaces. Springer-Verlag.^[9]
1950. Measure Theory. Springer Verlag.^[10]
1951. Introduction to Hilbert Space and the Theory of Spectral Multiplicity. Chelsea.^[11]
1956. Lectures on Ergodic Theory. Chelsea.^[12]
1960. Naive Set Theory. Springer Verlag.
1962. Algebraic Logic. Chelsea.
1963. Lectures on Boolean Algebras. Van Nostrand.
1967. A Hilbert Space Problem Book. Springer-Verlag.
1978 (with V. S. Sunder). Bounded Integral Operators on L² Spaces. Springer Verlag^[13]
1985. I Want to Be a Mathematician. Springer-Verlag.
1987. I Have a Photographic Memory. Mathematical Association of America.
1991. Problems for Mathematicians, Young and Old, Dolciani Mathematical Expositions, Mathematical Association of America.
1996. Linear Algebra Problem Book, Dolciani Mathematical Expositions, Mathematical Association of America.
1998 (with Steven Givant). Logic as Algebra, Dolciani Mathematical Expositions No. 21, Mathematical Association of America.
2009 (posthumous, with Steven Givant), Introduction to Boolean Algebras,^[14] Springer.

注釈[編集]

^ The Legend of John Von Neumann.
^ Halmos, Paul R. "Invariants of certain stochastic transformations: The mathematical theory of gambling systems."
^ Albers, Donald J. (1982). “Paul Halmos: Maverick Mathologist”. Two-Year College Mathematics Journal (Mathematical Association of America) 13 (4): 226-242. doi:10.2307/3027125. http://www.jstor.org/stable/3027125.
^ Halmos, Paul R. (1970). “Finite-dimensional Hilbert spaces”. Amer. Math. Monthly 77: 457–464. doi:10.2307/2317378.
^ Ziemer, William P.; Wheeler, William H.; Moolgavkar; Halmos, Paul R.; Ewing, John H.; Gustafson, William H. (1976). “American mathematics from 1940 to the day before yesterday”. Amer. Math. Monthly 83: 503–516.
^ Halmos, Paul (1950). Measure Theory. New York: Van Nostrand. pp. vi. "The symbol ∎ is used throughout the entire book in place of such phrases as "Q.E.D." or "This completes the proof of the theorem" to signal the end of a proof."
^ "The symbol is definitely not my invention — it appeared in popular magazines (not mathematical ones) before I adopted it, but, once again, I seem to have introduced it into mathematics.
^ The Mathematical Association of America's Euler Book Prize, retrieved 2011-02-01.
^ Kac, Mark (1943). “Review: Finite-dimensional vector spaces, by P. R. Halmos”. Bull. Amer. Math. Soc. 49 (5): 349–350. doi:10.1090/s0002-9904-1943-07899-8.
^ Oxtoby, J. C. (1953). “Review: Measure theory, by P. R. Halmos”. Bull. Amer. Math. Soc. 59 (1): 89–91. doi:10.1090/s0002-9904-1953-09662-8.
^ Lorch, E. R. (1952). “Review: Introduction to Hilbert space and the theory of spectral multiplicity, by P. R. Halmos”. Bull. Amer. Math. Soc. 58 (3): 412–415. doi:10.1090/s0002-9904-1952-09595-1.
^ Dowker, Yael N. (1959). “Review: Lectures on ergodic theory, by P. R. Halmos”. Bull. Amer. Math. Soc. 65 (4): 253–254. doi:10.1090/s0002-9904-1959-10331-1.
^ Zaanen, Adriaan (1979). “Review: Bounded integral operators on L² spaces, by P. R. Halmos and V. S. Sunder”. Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) 1 (6): 953–960. doi:10.1090/s0273-0979-1979-14699-8.
^ [1]

参考文献[編集]

J. H. Ewing; F. W. Gehring (1991). Paul Halmos: Celebrating 50 Years of Mathematics. Springer-Verlag. ISBN 0-387-97509-8. OCLC 22859036 Includes a bibliography of Halmos's writings through 1991.
John Ewing (October 2007). “Paul Halmos: In His Own Words” (PDF). Notices of the American Mathematical Society 54 (9): 1136–1144 2008年1月15日閲覧。.
Paul Halmos (1985). I want to be a Mathematician: An Automathography. Springer-Verlag. ISBN 0-387-96470-3. OCLC 230812318

外部リンク[編集]

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[1] The Legend of John Von Neumann.

[2] Halmos, Paul R. "Invariants of certain stochastic transformations: The mathematical theory of gambling systems."

[3] Albers, Donald J. (1982). “Paul Halmos: Maverick Mathologist”. Two-Year College Mathematics Journal (Mathematical Association of America) 13 (4): 226-242. doi:10.2307/3027125. http://www.jstor.org/stable/3027125.

[4] Halmos, Paul R. (1970). “Finite-dimensional Hilbert spaces”. Amer. Math. Monthly 77: 457–464. doi:10.2307/2317378.

[5] Ziemer, William P.; Wheeler, William H.; Moolgavkar; Halmos, Paul R.; Ewing, John H.; Gustafson, William H. (1976). “American mathematics from 1940 to the day before yesterday”. Amer. Math. Monthly 83: 503–516.

[6] Halmos, Paul (1950). Measure Theory. New York: Van Nostrand. pp. vi. "The symbol ∎ is used throughout the entire book in place of such phrases as "Q.E.D." or "This completes the proof of the theorem" to signal the end of a proof."

[7] "The symbol is definitely not my invention — it appeared in popular magazines (not mathematical ones) before I adopted it, but, once again, I seem to have introduced it into mathematics.

[maa-8] The Mathematical Association of America's Euler Book Prize, retrieved 2011-02-01.

[9] Kac, Mark (1943). “Review: Finite-dimensional vector spaces, by P. R. Halmos”. Bull. Amer. Math. Soc. 49 (5): 349–350. doi:10.1090/s0002-9904-1943-07899-8.

[10] Oxtoby, J. C. (1953). “Review: Measure theory, by P. R. Halmos”. Bull. Amer. Math. Soc. 59 (1): 89–91. doi:10.1090/s0002-9904-1953-09662-8.

[11] Lorch, E. R. (1952). “Review: Introduction to Hilbert space and the theory of spectral multiplicity, by P. R. Halmos”. Bull. Amer. Math. Soc. 58 (3): 412–415. doi:10.1090/s0002-9904-1952-09595-1.

[12] Dowker, Yael N. (1959). “Review: Lectures on ergodic theory, by P. R. Halmos”. Bull. Amer. Math. Soc. 65 (4): 253–254. doi:10.1090/s0002-9904-1959-10331-1.

[13] Zaanen, Adriaan (1979). “Review: Bounded integral operators on L² spaces, by P. R. Halmos and V. S. Sunder”. Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) 1 (6): 953–960. doi:10.1090/s0273-0979-1979-14699-8.

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