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函数解析学と関連する数学の分野において、強位相(きょういそう、英: strong topology)とは、最も細かい(英語版)極位相、すなわちある双対組上で最大の開集合を伴う位相である。最も粗い(英語版)極位相は弱位相と呼ばれる。
を、実数
あるいは複素数
の体
上のベクトル空間の双対組とする。
を、次に述べる意味で
の元によって評価されているすべての部分集合
の系とする。
![{\displaystyle \forall y\in Y\qquad \sup _{x\in B}|\langle x,y\rangle |<\infty .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fdbe64796aec624bfc879056cc542bb8850da2e)
このとき、
上の強位相
は、次の形の半ノルムによって生成される
上の局所凸位相として定義される。
![{\displaystyle \|y\|_{B}=\sup _{x\in B}|\langle x,y\rangle |,\qquad y\in Y,\qquad B\in {\mathcal {B}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40590f4d9ee71a2536ff5c53c8f6bbfcedc814b2)
が局所凸空間であるような特別な場合には、(連続)双対空間
(すなわち、すべての連続線型汎函数
の空間)上の強位相は、強位相
で定義され、それは
内の有界集合(英語版)の一様収束位相、すなわち次の形状の半ノルムによって生成される
上の位相と一致する。
![{\displaystyle \|f\|_{B}=\sup _{x\in B}|f(x)|,\qquad f\in X'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/492e058fae0a9839def3d23d06b9b931ea96179e)
ただし
は
内のすべての有界集合(英語版)の族について考えられる。この位相を備える空間
は、空間
の強双対空間(strong dual space)と呼ばれ、
と記述される。
がノルム線型空間であるなら、強位相を伴うその(連続)双対空間
は、バナッハ双対空間
、すなわち作用素ノルムによって誘起される位相を伴う空間
と一致する。逆に、
上の
-位相は、
上のノルムによって誘起される位相と一致する。
が樽型空間であるなら、その位相は
上の強位相
や、組
によって生成される
上のマッキー位相と一致する。
参考文献[編集]
- Schaefer, Helmuth H. (1966). Topological vector spaces. New York: The MacMillan Company. ISBN 0-387-98726-6