斜交行列

数学において、斜交行列（しゃこうぎょうれつ、英: symplectic matrix：シンプレクティック行列）は、2n×2n　の行列 M （要素は、典型的には実数または複素数）であって、以下の条件を満たすものをいう。

^tMΩM = Ω

ここで、 ^tM は M の転置を意味し、Ω はある固定された非特異な反対称行列である。 Ω は、一般的には区分行列（block matrix）

$\Omega ={\begin{bmatrix}0&I_{n}\\-I_{n}&0\\\end{bmatrix}}$

となる様に選ぶ。ここで、I_n は n×n 次の単位行列である。 Ω の行列式は +1 であり、逆行列は Ω⁻¹ = −Ω で与えられる。

特徴

すべての斜交行列は可逆であり、逆行列は下式で与えられる。

M⁻¹ = Ω⁻¹^tMΩ

また、2 つの斜交行列の積はまた斜交行列になる。これにより、すべての斜交行列全体の集合は、群の構造を持つ。この群には、多様体としての構造が自然に入り、それにより、この群は、斜交群（シンプレクティック群ともいう）と呼ばれる（実または複素）リー群になる。斜交群は、 n(2n + 1) 次元である。

定義から直ちに、斜交行列の行列式が ±1 であることがわかる。実際は、行列式は常に +1 である。これは、パフィアン（英: Pfaffian）と以下の恒等式を使うことにより確認できる。

Pf(^tMΩM) = det(M)Pf(Ω)

^tMΩM = Ω かつ Pf(Ω) ≠ 0 だから、 det(M) = 1 を得る。

Ω として標準的なものを取り、M は

$M={\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}$

の形をした 2n×2n の行列だとする。ここに、A、B、C、D は n×n 行列である。 M が斜交行列になる必要十分条件は、以下のすべてと同値である。

^tAD − ^tCB = I_n
^tAC = ^tCA
^tBD = ^tDB

n = 1 のときは、これらの条件は単一の条件 det(M) = 1 に単純化される。つまり、2×2 行列は、行列式が 1 のときに斜交行列となる。

斜交変換

線形代数の公理的な構成では、行列は有限次元ベクトル空間の線形変換に対応する。公理的な構成で斜交行列に対応するのは、斜交ベクトル空間（シンプレクティックベクトル空間ともいう）の斜交変換（しゃこうへんかん、英: symplectic transformation）である。簡単に言うと、斜交ベクトル空間は、非退化反対称二次形式 ω を備えた2n 次元のベクトル空間 V である。

このとき、斜交変換とは、ω を保存する、つまり下式を満たす線形変換 L : V → V である。

ω(Lu, Lv) = ω(u, v)

V の基底を固定すると、ω は行列 Ω により、また L は行列 M により書くことができる。 L が斜交変換になる必要十分条件は、以下により M が斜交行列になることである。

^tMΩM = Ω

行列 A で表現される基底の取替えにより、以下が従う。

$\Omega \mapsto {}^{t}A\Omega A$
$M\mapsto A^{-1}MA$

A を適当に選ぶことによって、何時でも Ω を標準形式のどれにすることもできる。

行列 Ω

斜交行列は、ある固定された特異反対称行列 Ω に関して定義される。前節で記したように、Ω は非退化反対称二次形式の座標表現として考えることもできる。この様な任意の 2 つの行列は基底の変換により互いに異なるのは、線型代数の基本的結果である。

上記の Ω 標準形と異なる最も一般的な代替は、以下の区分対角形式である。

$\Omega ={\begin{bmatrix}{\begin{matrix}0&1\\-1&0\end{matrix}}&&0\\&\ddots &\\0&&{\begin{matrix}0&1\\-1&0\end{matrix}}\end{bmatrix}}$

この選択肢は、前記の標準形と基底ベクトルの置換の部分だけ異なる。

反対称行列の記号として、Ω の替わりに J を用いることがある。これは、複素構造の記号に混乱をもたらすことから、特に不幸な選択である、というのも、複素構造は Ω と同一の座標表現を持つが、極めて異なる構造を表現するからである。複素構造 J は、二乗すると −1 になる線形変換の座標表現であるが、Ω は、非退化反対称二次形式の座標表現である。 J が反対称でなく、または Ω が二乗して −1 にならない基底を簡単に選ぶことができる。

ベクトル空間のエルミート構造（英：hermitian structure）が与えられたとき、J と Ω は、下式を通じて関係する。

Ω_ab = −g_acJ^c_b

ここに、g_ac は計量である。 J と Ω が通常、同一の座標表現を有する（全体の符号を除く）のは、計量 g が通常、単位行列であるという事実に基づく帰結に過ぎない。

特徴

斜交変換

行列 Ω

関連項目