有理化

数学において、有理化（ゆうりか、英: rationalization）とは、根号を含む式（とくに平方根を含む分数式の分母または分子）から根号を取り除く式変形のことである。根号を持つ無理数（代数的無理数）を有理数に変える操作であることからこの名がある。

概要

有理化をすることで計算がしやすくなったりする。例えば分母の有理化

${\frac {1}{2+{\sqrt {3}}}}={\frac {1(2-{\sqrt {3}})}{(2+{\sqrt {3}})(2-{\sqrt {3}})}}={\frac {2-{\sqrt {3}}}{4-3}}={2-{\sqrt {3}}}$

などがあげられる。

抽象代数学的にはこの例は、$\mathbb {Q}$ を有理数体、$d\in \mathbb {Q}$ が有理数の平方ではないとしたとき

$\mathbb {Q} ({\sqrt {d}})=\left\{{\frac {a+b{\sqrt {d}}}{a'+b'{\sqrt {d}}}}\,{\Big |}\,a,a',b,b'\in \mathbb {Q} \right\}$

という $\mathbb {Q}$ の二次拡大体を考えると、

$\mathbb {Q} ({\sqrt {d}})=\mathbb {Q} [{\sqrt {d}}](=\{a+b{\sqrt {d}}\mid a,b\in \mathbb {Q} \})$

が成り立つ、という主張に一般化できる。

これは $K=\mathbb {Q} ({\sqrt {d}})$ の各元 $a+b{\sqrt {d}}$ に対し、その拡大 $K/\mathbb {Q}$ に関する共役元 $a-b{\sqrt {d}}$ を掛ければ

$N(a+b{\sqrt {d}}):=(a+b{\sqrt {d}})(a-b{\sqrt {d}})=a^{2}-b^{2}d$

（この $N(a+b{\sqrt {d}})$ は $a+b{\sqrt {d}}$ の（拡大 $K/\mathbb {Q}$ に関する）ノルムと呼ばれる。）が $\mathbb {Q}$ に属すということからまさに有理化によって 証明されるわけである。

一般に、体 K の（有限次ガロア）拡大体 L の元に対し、その元の拡大 L/K に関する共役元（二次拡大ではただ一つだが、一般には複数ある）をすべて掛け合わせたものを、その元のノルムとよぶが、ノルムは下の体 K に属する。したがって同様のこと、つまり有理化は共役元が全て計算できるならば、二次拡大に限らず行える。

実数化

$\mathbb {Q}$ 以外の体の拡大についても同様のことができる。たとえば、$\mathbb {Q}$ を実数体 $\mathbb {R}$ にとりかえ、d = −1 としてみよう。

$\mathbb {C} =\mathbb {R} ({\sqrt {-1}})=\{a+b{\sqrt {-1}}\mid a,b\in \mathbb {R} \}$

（ここで、${\sqrt {-1}}$ は虚数単位のことである。）であって、各元（つまり複素数）$\alpha =a+b{\sqrt {-1}}$ の $\mathbb {C} /\mathbb {R}$ に関する共役元とは、共役複素数 $a-b{\sqrt {-1}}$ のことであるということに注意して、そのノルムを計算すると

$N(\alpha )=\alpha {\bar {\alpha }}=(a+b{\sqrt {-1}})(a-b{\sqrt {-1}})=a^{2}+b^{2}$

は $\mathbb {R}$ に属する。したがってたとえば、

${\frac {1}{2+{\sqrt {-1}}}}={\frac {1(2-{\sqrt {-1}})}{(2+{\sqrt {-1}})(2-{\sqrt {-1}})}}={\frac {2-{\sqrt {-1}}}{4+1}}={\frac {2-{\sqrt {-1}}}{5}}$

などの変形が可能である。このような変形を（分母の）実数化ということがある。