次数nが1, 2, 3, 4で選択係数ξが1.1の場合について,楕円有理関数をxの範囲が-1から1までのプロット。 注 この範囲では値は-1から1の間にあり、すべての次数でx=1のとき1となる。
楕円有理関数 (英 : Elliptic rational functions )とは、実数係数を持つ 有理関数 の数列であり、フィルタ回路 の一種である楕円フィルタ の設計で利用される。楕円有理関数は、チェビシェフ有理関数 と呼ばれることもあるが、同名の別のチェビシェフ有理関数 (英語 : Chebyshev rational functions ) )があるので注意が必要。
楕円有理関数は正の次数n と選択係数と呼ばれるパラメータξ ≥ 1 を持つ。次数n で選択係数が
ξ
{\displaystyle \xi }
で変数がx の楕円有理関数は、次のようなヤコビの楕円関数 を用いた表示を持つ:
R
n
(
ξ
,
x
)
≡
c
d
(
n
K
(
1
/
L
n
)
K
(
1
/
ξ
)
c
d
−
1
(
x
,
1
/
ξ
)
,
1
/
L
n
)
{\displaystyle R_{n}(\xi ,x)\equiv \mathrm {cd} \left(n{\frac {K(1/L_{n})}{K(1/\xi )}}\,\mathrm {cd} ^{-1}(x,1/\xi ),1/L_{n}\right)}
この式で,
c
d
(
x
,
k
)
{\displaystyle cd(x,k)}
は母数が
k
{\displaystyle k}
の ヤコビの楕円余弦関数 であり,
c
d
−
1
(
x
,
k
)
{\displaystyle cd^{-1}(x,k)}
はその逆関数、
K
(
k
)
{\displaystyle K(k)}
は 母数が
k
{\displaystyle k}
の第一種完全楕円積分 を表わす。
L
n
=
R
n
(
ξ
,
ξ
)
{\displaystyle L_{n}=R_{n}(\xi ,\xi )}
は 弁別係数 と呼ばれ、
ξ
≤
|
x
|
{\displaystyle \xi \leq |x|}
における
|
R
n
(
ξ
,
x
)
|
{\displaystyle |R_{n}(\xi ,x)|}
の最小値に等しい。
この表示がn次の有理関数であるためには,
K
′
(
k
)
≡
K
(
1
−
k
2
)
{\displaystyle K'(k)\equiv K({\sqrt {1-k^{2}}})}
とするとき、条件
K
′
(
1
/
L
n
)
/
K
(
1
/
L
n
)
=
n
K
′
(
1
/
ξ
)
/
K
(
1
/
ξ
)
{\displaystyle K'(1/L_{n})/K(1/L_{n})=nK'(1/\xi )/K(1/\xi )}
の成立が必要である。 つまり,nを与えたとき,
ξ
{\displaystyle \xi }
と
L
n
{\displaystyle L_{n}}
の間には関係がある。その関係を最も一般的に解くには、たとえば楕円nome関数
q
(
k
)
≡
exp
(
−
π
K
′
(
k
)
/
K
(
k
)
)
{\displaystyle q(k)\equiv \exp(-\pi K'(k)/K(k))}
を用いるとその関係は
q
(
1
/
L
n
)
=
{
q
(
1
/
ξ
)
}
n
{\displaystyle q(1/L_{n})=\{q(1/\xi )\}^{n}}
と表せる。そうして
ξ
{\displaystyle \xi }
を与えてこの関係式の右辺を計算すれば、その値に対する楕円nome関数の逆関数の値として
1
/
L
n
{\displaystyle 1/L_{n}}
が求まる(楕円nome関数
q
(
k
)
{\displaystyle q(k)}
の逆関数
k
=
k
(
q
)
{\displaystyle k=k(q)}
の値は
|
q
|
≪
1
{\displaystyle |q|\ll 1}
のとき収束の早い級数展開を利用して近似計算ができる)。
多くの場合、特にn が = 2a 3b 、(a, bは整数)で表される時、楕円有理関数は代数的に表すことができる。
楕円有理関数は、チェビシェフ多項式 と密接な関係にあり、三角関数 がヤコビの楕円関数の特殊な場合であるのと同様、チェビシェフ多項式は楕円有理関数の特殊な場合にあたる。
偶数次楕円有理関数は2つの n 次多項式の比として表すことができる。
R
n
(
ξ
,
x
)
=
r
0
∏
i
=
1
n
(
x
−
x
n
,
i
)
∏
i
=
1
n
(
x
−
x
n
,
i
(
p
)
)
{\displaystyle R_{n}(\xi ,x)=r_{0}\,{\frac {\prod _{i=1}^{n}(x-x_{n,i})}{\prod _{i=1}^{n}(x-x_{n,i}^{(p)})}}}
(n は偶数)
x
n
,
i
{\displaystyle x_{n,i}}
は零点で
x
n
,
i
(
p
)
{\displaystyle x_{n,i}^{(p)}}
は極であり、
r
0
{\displaystyle r_{0}}
は
R
n
(
ξ
,
1
)
=
1
{\displaystyle R_{n}(\xi ,1)=1}
となるように選んだ正規化定数である。この表記法は偶数次と同様に奇数次にも成り立つが、奇数次の場合は、極が x=∞ にあり、零点が x=0 に存在するので、次のように読み替える必要がある:
R
n
(
ξ
,
x
)
=
r
0
x
∏
i
=
1
n
−
1
(
x
−
x
n
,
i
)
∏
i
=
1
n
−
1
(
x
−
x
n
,
i
(
p
)
)
{\displaystyle R_{n}(\xi ,x)=r_{0}\,x\,{\frac {\prod _{i=1}^{n-1}(x-x_{n,i})}{\prod _{i=1}^{n-1}(x-x_{n,i}^{(p)})}}}
(n は奇数)
3次の有理関数でξ=1.4のグラフ。x=0の時にゼロ、無限遠に極を持つ。奇数3次の関数は奇関数である。実軸上に3つの零点と3つの極を持つ(1つの極は無限遠)。関数値の絶対値はすべての零点の間で極大値1を取り、すべての極の間で極小値として弁別係数Ln の値を取る。
4次の楕円有理関数でξ=1.4のグラフ。偶数4次の関数は偶関数である。実軸上に4つの零点と4つの極を持つ。この場合も、関数値の絶対値は零点の間で極大値1を取り、極の間で極小値 Ln を取る。
選択係数ξの違いによる変化. 4次の楕円有理関数で、選択係数ξをほぼ1から無限大にまで変えた例。 ξ=∞に対応する黒い線は 4次のチェビシェフ多項式に対応する。 選択係数が1に近付くほど、x=1 と x=ξの間の遷移領域に於いて傾きが急峻になる。
The canonical properties [ 編集 ]
R
n
2
(
ξ
,
x
)
≤
1
{\displaystyle R_{n}^{2}(\xi ,x)\leq 1}
for
|
x
|
≤
1
{\displaystyle |x|\leq 1\,}
R
n
2
(
ξ
,
x
)
=
1
{\displaystyle R_{n}^{2}(\xi ,x)=1}
at
|
x
|
=
1
{\displaystyle |x|=1\,}
R
n
2
(
ξ
,
−
x
)
=
R
n
2
(
ξ
,
x
)
{\displaystyle R_{n}^{2}(\xi ,-x)=R_{n}^{2}(\xi ,x)}
R
n
2
(
ξ
,
x
)
>
1
{\displaystyle R_{n}^{2}(\xi ,x)>1}
for
x
>
1
{\displaystyle x>1\,}
x=1 における傾きが最も急峻
x=1 における傾きは同次数のチェビシェフ多項式よりも急である
上記の条件を満たす有理関数は、楕円有理関数しかない (Lutovac 2001 , § 13.2).
以下の特徴を導くことができる:
楕円有理関数はx=1の時に1となる。
R
n
(
ξ
,
1
)
=
1
{\displaystyle R_{n}(\xi ,1)=1\,}
「入れ子関係」は次のように書き表せる:
R
m
(
R
n
(
ξ
,
ξ
)
,
R
n
(
ξ
,
x
)
)
=
R
m
⋅
n
(
ξ
,
x
)
{\displaystyle R_{m}(R_{n}(\xi ,\xi ),R_{n}(\xi ,x))=R_{m\cdot n}(\xi ,x)\,}
これは極めて重要な特徴である:
もし
R
n
{\displaystyle R_{n}}
が任意の素数 n で求められるなら、入れ子関係により任意の n で
R
n
{\displaystyle R_{n}}
を求めることができる。特に、
R
2
{\displaystyle R_{2}}
と
R
3
{\displaystyle R_{3}}
はヤコビの楕円関数を使わない閉じた形であらわせるため、
n
=
2
a
3
b
{\displaystyle n=2^{a}3^{b}}
の形であらわされる任意の n で
R
n
{\displaystyle R_{n}}
を表すことができる。
このことから、もし素数 n での
R
n
{\displaystyle R_{n}}
の零点が知られているなら、任意の n における
R
n
{\displaystyle R_{n}}
の零点を見つけることができる。さらに、逆数関係(下記参照)を使うことにより、極の位置も知ることができる。
この入れ子関係を用いることで、弁別係数の入れ子関係が示せる:
L
m
⋅
n
(
ξ
)
=
L
m
(
L
n
(
ξ
)
)
{\displaystyle L_{m\cdot n}(\xi )=L_{m}(L_{n}(\xi ))}
楕円有理関数は、第一種チェビシェフ多項式
T
n
(
x
)
{\displaystyle T_{n}(x)}
と次の関連がある。
lim
ξ
=→
∞
R
n
(
ξ
,
x
)
=
T
n
(
x
)
{\displaystyle \lim _{\xi =\rightarrow \,\infty }R_{n}(\xi ,x)=T_{n}(x)\,}
R
n
(
ξ
,
−
x
)
=
R
n
(
ξ
,
x
)
{\displaystyle R_{n}(\xi ,-x)=R_{n}(\xi ,x)\,}
n が偶数の場合
R
n
(
ξ
,
−
x
)
=
−
R
n
(
ξ
,
x
)
{\displaystyle R_{n}(\xi ,-x)=-R_{n}(\xi ,x)\,}
n が奇数の場合
R
n
(
ξ
,
x
)
{\displaystyle R_{n}(\xi ,x)}
は
−
1
≤
x
≤
1
{\displaystyle -1\leq x\leq 1}
の区間で、等リップル性(極大極小値が
±
1
{\displaystyle \pm 1}
)を持ち、
さらに逆数関係(下記参照)により、
1
/
R
n
(
ξ
,
x
)
{\displaystyle 1/R_{n}(\xi ,x)}
が
1
≤
ξ
≤
|
x
|
{\displaystyle 1\leq \xi \leq |x|}
で等リップル性(極大極小値が
±
1
/
L
n
(
ξ
)
{\displaystyle \pm 1/L_{n}(\xi )}
) を持つ。
次の逆数関係が成り立つ:
R
n
(
ξ
,
ξ
/
x
)
=
R
n
(
ξ
,
ξ
)
R
n
(
ξ
,
x
)
{\displaystyle R_{n}(\xi ,\xi /x)={\frac {R_{n}(\xi ,\xi )}{R_{n}(\xi ,x)}}\,}
このことから、対応するi番目の零点
x
i
{\displaystyle x_{i}}
と極
x
i
(
p
)
{\displaystyle x_{i}^{(p)}}
の間には次の関係がある
x
i
x
i
(
p
)
=
ξ
{\displaystyle x_{i}x_{i}^{(p)}=\xi \,}
全ての零点と極は実数であって重複がない。奇数次の場合には原点に零点があり、それに対応する極は無限遠にある。
n次の楕円有理関数の零点を、
x
n
,
i
(
ξ
)
{\displaystyle x_{n,i}(\xi )}
あるいは
ξ
{\displaystyle \xi }
が明らかな場合は単に
x
n
,
i
{\displaystyle x_{n,i}}
と書く。
また、楕円有理関数の零点は、有理式の分子の多項式の零点である。
以下の楕円有理関数の零点の導出はチェビシェフ多項式 の零点の決定と類似のものである。
任意のzについて成り立つ次の等式を(
z
=
L
n
{\displaystyle z=L_{n}}
の場合にも成り立つ)使う
c
d
(
(
2
m
−
1
)
K
(
1
/
z
)
,
1
z
)
=
0
{\displaystyle \mathrm {cd} \left((2m-1)K\left(1/z\right),{\frac {1}{z}}\right)=0\,}
すると零点
x
n
,
m
{\displaystyle x_{n,m}}
は、楕円有理関数のヤコビ楕円関数を用いた表示式から、次式を満たす。
n
K
(
1
/
L
n
)
K
(
1
/
ξ
)
c
d
−
1
(
x
n
,
m
,
1
/
ξ
)
=
(
2
m
−
1
)
K
(
1
/
L
n
)
{\displaystyle n{\frac {K(1/L_{n})}{K(1/\xi )}}\mathrm {cd} ^{-1}(x_{n,m},1/\xi )=(2m-1)K(1/L_{n})}
したがって、零点の位置は(m=1,2,...,nとして)次のように与えられる
x
n
,
m
=
c
d
(
K
(
1
/
ξ
)
2
m
−
1
n
,
1
ξ
)
.
{\displaystyle x_{n,m}=\mathrm {cd} \left(K(1/\xi )\,{\frac {2m-1}{n}},{\frac {1}{\xi }}\right).}
上述の「逆数関係」により,極の位置は
x
n
,
i
x
n
,
i
(
p
)
=
ξ
{\displaystyle x_{n,i}x_{n,i}^{(p)}=\xi \,}
から簡単に計算できる。
一般的には
R
m
{\displaystyle R_{m}}
と
R
n
{\displaystyle R_{n}}
の零点はヤコビ楕円関数の周期等分方程式を解いて求められるが,それらが四則と巾根だけによる代数的な式で (つまり楕円関数を用いずに)表せるのであれば,上記の入れ子関係を使うことで、
R
m
n
{\displaystyle R_{m\,n}}
の零点を代数的に表現できる。 特に、次数
2
i
3
j
{\displaystyle 2^{i}3^{j}}
の楕円有理関数の零点の位置は代数的に表現することができる (Lutovac 2001 , § 12.9, 13.9)。たとえば、
R
8
(
ξ
,
x
)
{\displaystyle R_{8}(\xi ,x)}
の零点は次のように表せる:
X
n
≡
R
n
(
ξ
,
x
)
L
n
≡
R
n
(
ξ
,
ξ
)
t
n
≡
1
−
1
/
L
n
2
.
{\displaystyle X_{n}\equiv R_{n}(\xi ,x)\qquad L_{n}\equiv R_{n}(\xi ,\xi )\qquad t_{n}\equiv {\sqrt {1-1/L_{n}^{2}}}.}
と定義すれば、「入れ子関係」を持ちいることで
R
2
(
ξ
,
x
)
=
(
t
+
1
)
x
2
−
1
(
t
−
1
)
x
2
+
1
{\displaystyle R_{2}(\xi ,x)={\frac {(t+1)x^{2}-1}{(t-1)x^{2}+1}}}
t
≡
1
−
1
/
ξ
2
{\displaystyle t\equiv {\sqrt {1-1/\xi ^{2}}}}
とすれば、
L
2
=
1
+
t
1
−
t
,
L
4
=
1
+
t
2
1
−
t
2
,
L
8
=
1
+
t
4
1
−
t
4
{\displaystyle L_{2}={\frac {1+t}{1-t}},\qquad L_{4}={\frac {1+t_{2}}{1-t_{2}}},\qquad L_{8}={\frac {1+t_{4}}{1-t_{4}}}}
X
2
=
(
t
+
1
)
x
2
−
1
(
t
−
1
)
x
2
+
1
,
X
4
=
(
t
2
+
1
)
X
2
2
−
1
(
t
2
−
1
)
X
2
2
+
1
,
X
8
=
(
t
4
+
1
)
X
4
2
−
1
(
t
4
−
1
)
X
4
2
+
1
.
{\displaystyle X_{2}={\frac {(t+1)x^{2}-1}{(t-1)x^{2}+1}},\qquad X_{4}={\frac {(t_{2}+1)X_{2}^{2}-1}{(t_{2}-1)X_{2}^{2}+1}},\qquad X_{8}={\frac {(t_{4}+1)X_{4}^{2}-1}{(t_{4}-1)X_{4}^{2}+1}}.}
最後の3つの式は逆に解くことができ、
x
=
1
±
1
+
t
(
1
−
X
2
1
+
X
2
)
,
X
2
=
1
±
1
+
t
2
(
1
−
X
4
1
+
X
4
)
,
X
4
=
1
±
1
+
t
4
(
1
−
X
8
1
+
X
8
)
.
{\displaystyle x={\frac {1}{\pm {\sqrt {1+t\,\left({\frac {1-X_{2}}{1+X_{2}}}\right)}}}},\qquad X_{2}={\frac {1}{\pm {\sqrt {1+t_{2}\,\left({\frac {1-X_{4}}{1+X_{4}}}\right)}}}},\qquad X_{4}={\frac {1}{\pm {\sqrt {1+t_{4}\,\left({\frac {1-X_{8}}{1+X_{8}}}\right)}}}}.\qquad }
R
8
(
ξ
,
x
)
{\displaystyle R_{8}(\xi ,x)}
の零点を求めるには、 3番目の式で、
X
8
=
0
{\displaystyle X_{8}=0}
としたうえで
X
4
{\displaystyle X_{4}}
の値2つを求め、求めた
X
4
{\displaystyle X_{4}}
を用いることで、2番目の等式から4つの
X
2
{\displaystyle X_{2}}
の値を求め、最後に、これらの値を使うことで最初の等式から
R
8
(
ξ
,
x
)
{\displaystyle R_{8}(\xi ,x)}
の8つの零点を求めることができる。. (
t
n
{\displaystyle t_{n}}
も同様な再帰で求めることができる。) また、逆数関係を用いれば、極の位置も求めることができる。
低次の楕円有理関数は次のようになる:
R
1
(
ξ
,
x
)
=
x
{\displaystyle R_{1}(\xi ,x)=x\,}
R
2
(
ξ
,
x
)
=
(
t
+
1
)
x
2
−
1
(
t
−
1
)
x
2
+
1
{\displaystyle R_{2}(\xi ,x)={\frac {(t+1)x^{2}-1}{(t-1)x^{2}+1}}}
ここで
t
≡
1
−
1
ξ
2
{\displaystyle t\equiv {\sqrt {1-{\frac {1}{\xi ^{2}}}}}}
R
3
(
ξ
,
x
)
=
x
(
1
−
x
p
2
)
(
x
2
−
x
z
2
)
(
1
−
x
z
2
)
(
x
2
−
x
p
2
)
{\displaystyle R_{3}(\xi ,x)=x\,{\frac {(1-x_{p}^{2})(x^{2}-x_{z}^{2})}{(1-x_{z}^{2})(x^{2}-x_{p}^{2})}}}
G
≡
4
ξ
2
+
(
4
ξ
2
(
ξ
2
−
1
)
)
2
/
3
{\displaystyle G\equiv {\sqrt {4\xi ^{2}+(4\xi ^{2}(\xi ^{2}\!-\!1))^{2/3}}}}
ここで
x
p
2
≡
2
ξ
2
G
8
ξ
2
(
ξ
2
+
1
)
+
12
G
ξ
2
−
G
3
−
G
3
{\displaystyle x_{p}^{2}\equiv {\frac {2\xi ^{2}{\sqrt {G}}}{{\sqrt {8\xi ^{2}(\xi ^{2}\!+\!1)+12G\xi ^{2}-G^{3}}}-{\sqrt {G^{3}}}}}}
また
x
z
2
=
ξ
2
/
x
p
2
{\displaystyle x_{z}^{2}=\xi ^{2}/x_{p}^{2}}
R
4
(
ξ
,
x
)
=
R
2
(
R
2
(
ξ
,
ξ
)
,
R
2
(
ξ
,
x
)
)
=
(
1
+
t
)
(
1
+
t
)
2
x
4
−
2
(
1
+
t
)
(
1
+
t
)
x
2
+
1
(
1
+
t
)
(
1
−
t
)
2
x
4
−
2
(
1
+
t
)
(
1
−
t
)
x
2
+
1
{\displaystyle R_{4}(\xi ,x)=R_{2}(R_{2}(\xi ,\xi ),R_{2}(\xi ,x))={\frac {(1+t)(1+{\sqrt {t}})^{2}x^{4}-2(1+t)(1+{\sqrt {t}})x^{2}+1}{(1+t)(1-{\sqrt {t}})^{2}x^{4}-2(1+t)(1-{\sqrt {t}})x^{2}+1}}}
R
6
(
ξ
,
x
)
=
R
3
(
R
2
(
ξ
,
ξ
)
,
R
2
(
ξ
,
x
)
)
{\displaystyle R_{6}(\xi ,x)=R_{3}(R_{2}(\xi ,\xi ),R_{2}(\xi ,x))\,}
etc.
n=5 や
n
=
2
i
3
j
{\displaystyle n=2^{i}\,3^{j}}
の形をしたより多くの楕円有理関数についてはLutovac (2001 , § 13) を参照のこと。
対応する弁別係数は:
L
1
(
ξ
)
=
ξ
{\displaystyle L_{1}(\xi )=\xi \,}
L
2
(
ξ
)
=
1
+
t
1
−
t
=
(
ξ
+
ξ
2
−
1
)
2
{\displaystyle L_{2}(\xi )={\frac {1+t}{1-t}}=\left(\xi +{\sqrt {\xi ^{2}-1}}\right)^{2}}
L
3
(
ξ
)
=
ξ
3
(
1
−
x
p
2
ξ
2
−
x
p
2
)
2
{\displaystyle L_{3}(\xi )=\xi ^{3}\left({\frac {1-x_{p}^{2}}{\xi ^{2}-x_{p}^{2}}}\right)^{2}}
L
4
(
ξ
)
=
(
ξ
+
(
ξ
2
−
1
)
1
/
4
)
4
(
ξ
+
ξ
2
−
1
)
2
{\displaystyle L_{4}(\xi )=\left({\sqrt {\xi }}+(\xi ^{2}-1)^{1/4}\right)^{4}\left(\xi +{\sqrt {\xi ^{2}-1}}\right)^{2}}
L
6
(
ξ
)
=
L
3
(
L
2
(
ξ
)
)
{\displaystyle L_{6}(\xi )=L_{3}(L_{2}(\xi ))\,}
etc.
n を次数とすると、零点は全部で n 個あり、j を零点の番号とすると対応する零点は
x
n
,
j
{\displaystyle x_{n,j}}
と表せる。
x
1
,
1
=
0
{\displaystyle x_{1,1}=0\,}
x
2
,
1
=
ξ
1
−
t
{\displaystyle x_{2,1}=\xi {\sqrt {1-t}}\,}
x
2
,
2
=
−
x
2
,
1
{\displaystyle x_{2,2}=-x_{2,1}\,}
x
3
,
1
=
x
z
{\displaystyle x_{3,1}=x_{z}\,}
x
3
,
2
=
0
{\displaystyle x_{3,2}=0\,}
x
3
,
3
=
−
x
3
,
1
{\displaystyle x_{3,3}=-x_{3,1}\,}
x
4
,
1
=
ξ
(
1
−
t
)
(
1
+
t
−
t
(
t
+
1
)
)
{\displaystyle x_{4,1}=\xi {\sqrt {\left(1-{\sqrt {t}}\right)\left(1+t-{\sqrt {t(t+1)}}\right)}}\,}
x
4
,
2
=
ξ
(
1
−
t
)
(
1
+
t
+
t
(
t
+
1
)
)
{\displaystyle x_{4,2}=\xi {\sqrt {\left(1-{\sqrt {t}}\right)\left(1+t+{\sqrt {t(t+1)}}\right)}}\,}
x
4
,
3
=
−
x
4
,
2
{\displaystyle x_{4,3}=-x_{4,2}\,}
x
4
,
4
=
−
x
4
,
1
{\displaystyle x_{4,4}=-x_{4,1}\,}
「逆数関係」により、対応する極は
x
n
,
i
(
p
)
=
ξ
/
x
n
,
i
{\displaystyle x_{n,i}^{(p)}=\xi /x_{n,i}}
と表すことができる。
Weisstein, Eric W. "Elliptic Rational Function" . mathworld.wolfram.com (英語).
Daniels, Richard W. (1974). Approximation Methods for Electronic Filter Design . New York: McGraw-Hill. ISBN 0-07-015308-6
Lutovac, Miroslav D.; Tosic, Dejan V., Evans, Brian L. (2001). Filter Design for Signal Processing using MATLAB and Mathematica . New Jersey, USA: Prentice Hall. ISBN 0-201-36130-2