極円 (幾何学)

幾何学において、三角形の極円（きょくえん、英:polar circle）は垂心を中心とし、半径の二乗が以下の式で表される円である^[1]^[2]^[3]。 ${\begin{aligned}r^{2}&={\overline {HA}}\times {\overline {HD}}={\overline {HB}}\times {\overline {HE}}={\overline {HC}}\times {\overline {HF}}\\[4pt]&=-4R^{2}\cos A\cos B\cos C\\[4pt]&=4R^{2}-{\frac {a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2}}\end{aligned}}$ ここで $A, B, C$ は三角形の頂点、 $H$ は垂心 (3本の頂垂線の交点)、 $D, E, F$ は $A, B, C$ に対する垂足、 $R$ は外接円の半径、 $a, b, c$ は $A, B, C$ の対辺の長さである。

一行目の右辺は $A, D$ が極円で反転の関係にあることを表す。二行目は半径を三角法で表したものであり、式から分かるように極円は鋭角三角形では定義できない。

性質

垂心系（英語版）にある4つの点からできる任意の2つの三角形のそれぞれの極円は直交する。
極円と第二ドロー・ファーニ―円、ステヴァノヴィッチ円は直交する。
三角形の外接円、九点円、極円、接線三角形の外接円、の中心は共線（オイラー線）である。
ド・ロンシャン円を重心を中心に-2倍拡大（2:1の反転^[4]）したものである。
極円のPolar triangleは元の三角形である。そのため、「自己共役円」とも呼ばれる^[4]。

出典

^ Weisstein, Eric W. "Polar Circle". mathworld.wolfram.com (英語).
^ John Alexander Third (1898) (English). Modern Geometry of the Point, Straight Line, and Circle: An Elementary Treatise. Harvard University. Blackwood
^ 『Modern geometry; an elementary treatise on the geometry of the triangle and the circle,』Houghton Mifflin Harcourt、1929年、176-181頁。
^ ^a ^b 一松信,畔柳和生『重心座標による幾何学』現代数学社、9/12、30-31頁。

外部リンク

Weisstein, Eric W. "Second Droz-Farny Circle". mathworld.wolfram.com (英語).
Weisstein, Eric W. "Stevanović Circle". mathworld.wolfram.com (英語).

[1] Weisstein, Eric W. "Polar Circle". mathworld.wolfram.com (英語).

[2] John Alexander Third (1898) (English). Modern Geometry of the Point, Straight Line, and Circle: An Elementary Treatise. Harvard University. Blackwood

[3] 『Modern geometry; an elementary treatise on the geometry of the triangle and the circle,』Houghton Mifflin Harcourt、1929年、176-181頁。

[:0-4] 一松信,畔柳和生『重心座標による幾何学』現代数学社、9/12、30-31頁。

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