正則凸包

数学の複素解析の分野において、n-次元複素空間 Cⁿ 内のある与えられたコンパクト集合に対する正則凸包（せいそくとつほう、英: holomorphically convex hull）は、次のように定義される。

$G\subset {\mathbb {C} }^{n}$ をある領域（すなわち、連結開集合）あるいはより一般に、$n$-次元複素多様体とする。${\mathcal {O}}(G)$ を、$G$ 上の正則函数の集合とする。あるコンパクト集合 $K\subset G$ の正則凸包は、次で定義される。

${\hat {K}}_{G}:=\{z\in G{\big |}\left|f(z)\right|\leq \sup _{w\in K}\left|f(w)\right|{\mbox{ for all }}f\in {\mathcal {O}}(G)\}.$

この定義において f を多項式とすることで、より特殊な概念である多項式凸包（polynomial convex hull）が得られる。

$G$ 内でコンパクトなすべての $K\subset G$ に対して ${\hat {K}}_{G}$ も $G$ 内でコンパクトであるなら、そのような領域 $G$ は正則凸（holomorphically convex）であると言われる。これはしばしば holomorph-convex と略記される。

$n=1$ のとき、${\hat {K}}_{G}$ は $G\setminus K\subset G$ の相対コンパクトな成分と $K$ との合併であるため、任意の領域 $G$ は正則凸である。またこのとき、領域が正則凸であることは、それが正則領域であることと同値であることに注意されたい（カルタン＝トゥレンの定理）。これらの概念は、多変数複素函数の n > 1 の場合にはさらに重要となる。

関連項目

• シュタイン多様体
• 擬凸性

参考文献

• Lars Hörmander. An Introduction to Complex Analysis in Several Variables, North-Holland Publishing Company, New York, New York, 1973.
• Steven G. Krantz. Function Theory of Several Complex Variables, AMS Chelsea Publishing, Providence, Rhode Island, 1992.

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