正則ベクトル束

数学において，正則ベクトル束（せいそくベクトルそく，英: holomorphic vector bundle）とは，複素多様体 $X$ 上の複素ベクトル束であって，全空間 $E$ が複素多様体であり射影 $π: E \to X$ が正則であるようなものである．基本的な例は複素多様体の正則接束とその双対正則余接束である．正則直線束 (holomorphic line bundle) は階数が 1 の正則ベクトル束である．

セールの GAGA により，滑らかな複素射影多様体 $X$ （複素多様体と見る）上の正則ベクトル束の圏は， $X$ 上の代数ベクトル束（英語版）（すなわち階数が有限の局所自由層）の圏と同値である．

自明化を通した定義

具体的には，局所自明化写像

\phi _{U}\colon \pi ^{-1}(U)\to U\times \mathbf {C} ^{k}

は双正則であることを要求する．これは変換関数

t_{UV}\colon U\cap V\to \operatorname {GL} _{k}(\mathbf {C} )

が正則であると要求することと同値である．複素多様体の接束上の正則構造は，ベクトル値正則関数の（適切な意味での）微分がそれ自身正則であることに注意すると保証される．

正則切断の層

$E$ を正則ベクトル束とする．局所切断 $s : U \to E | U$ が正則 (holomorphic) であるとは，それが $U$ の各点の近傍においてある（同値だが任意の）自明化において正則であることをいう．

この条件は局所的である，つまり正則切断たちは $X$ 上の層をなす．この層は ${\mathcal {O}}(E)$ と書かれることがある．そのような層は必ずベクトル束と同じ階数の局所自由である． $E$ が自明な直線束 ${\underline {\mathbf {C} }}$ であるとき，この層は複素多様体 $X$ の構造層 ${\mathcal {O}}_{X}$ と一致する．

正則ベクトル束に値を持つ形式の層

${\mathcal {E}}_{X}^{p,q}$ で $(p, q)$ 型の $C \infty$ 微分形式の層を表すと， $E$ に値を持つ $(p, q)$ 型形式の層はテンソル積

{\mathcal {E}}^{p,q}(E)\triangleq {\mathcal {E}}_{X}^{p,q}\otimes E

として定義できる．

これらの層は細層である，つまり1の分割を持つ．

滑らかなベクトル束と正則ベクトル束の間の基本的な差異は，後者にはドルボー作用素（英語版）と呼ばれる標準的な微分作用素

{\overline {\partial }}:{\mathcal {E}}^{p,q}(E)\to {\mathcal {E}}^{p,q+1}(E)

が存在することである．それは局所座標において反正則微分を取ることによって得られる．

正則ベクトル束のコホモロジー

$E$ が正則ベクトル束であるとき， $E$ のコホモロジーは ${\mathcal {O}}(E)$ の層係数コホモロジーと定義される．とくに，

H^{0}(X,{\mathcal {O}}(E))=\Gamma (X,{\mathcal {O}}(E)),

$E$ の大域正則切断の空間，となる．また， $H^{1}(X,{\mathcal {O}}(E))$ は $E$ による $X$ の自明直線束の拡大，つまり，正則ベクトル束の完全列 $0 \to E \to F \to X \times C \to 0$ , の群をパラメトライズする．群構造については，Baer 和（英語版）や層の拡大（英語版）も参照．

ピカール群

複素微分幾何の文脈では，複素多様体 $X$ のピカール群 $Pic(X)$ は，正則直線束の同型類の群であって，積はテンソル積，逆元は双対である．それは消えない正則関数の層の一次コホモロジー群 $H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}^{*})$ として定義することもできる．

正則ベクトル束上のエルミート計量

→「エルミート接続」も参照

$E$ を複素多様体 $M$ 上の正則ベクトル束とし， $E$ 上にエルミート計量が存在するとする，つまり，ファイバー $E x$ に滑らかに変化する内積 $⟨•, •⟩$ が備わっているとする．すると複素構造と計量構造の両方と両立する $E$ 上の接続 $\nabla$ が一意的に存在する．つまり， $\nabla$ が次のような接続である：

(1)

E

の任意の滑らかな切断

s

に対して，

p\nabla s={\bar {\partial }}s

ただし

p

は

E

値 1 形式（英語版）の

(0, 1)

成分を取る．

(2)

E

の任意の滑らかな切断

s

,

t

と

M

上のベクトル場

X

に対し，

X\cdot \langle s,t\rangle =\langle \nabla _{X}s,t\rangle +\langle s,\nabla _{X}t\rangle

ただし

X

による

\nabla s

の contraction を

\nabla _{X}s

と書いた．（これは

\nabla

による平行移動（英語版）が計量

⟨•, •⟩

を保存すると言っても同じである．）

実際， $u = (e 1, \dots, e n)$ が正則枠であるとき， $h_{ij}=\langle e_{i},e_{j}\rangle$ とし， $ω u$ を等式 $\sum h_{ik}\,{(\omega _{u})}_{j}^{k}=\partial h_{ij}$ によって定義する．この等式をより単純に次のように書く：

\omega _{u}=h^{-1}\partial h.

$u' = ug$ を基底の正則な変換 $g$ による別の枠とすると，

\omega _{u'}=g^{-1}dg+g\omega _{u}g^{-1}

であり，したがって $ω$ は確かに接続形式であって， $\nabla s = ds + ω \cdot s$ によって $\nabla$ を生じる．今， ${\overline {\omega }}^{T}={\overline {\partial }}h\cdot h^{-1}$ であるから，

d\langle e_{i},e_{j}\rangle =\partial h_{ij}+{\overline {\partial }}h_{ij}=\langle {\omega }_{i}^{k}e_{k},e_{j}\rangle +\langle e_{i},{\omega }_{j}^{k}e_{k}\rangle =\langle \nabla e_{i},e_{j}\rangle +\langle e_{i},\nabla e_{j}\rangle .

つまり， $\nabla$ は計量構造と両立する．最後に， $ω$ は $(1, 0)$ 形式であるから， $\nabla s$ の $(0, 1)$ 成分は ${\bar {\partial }}s$ である．

$\Omega =d\omega +\omega \wedge \omega$ を $\nabla$ の曲率形式とする． $p\nabla ={\bar {\partial }}$ は二乗して零になるから， $Ω$ は $(0, 2)$ 成分を持たず， $Ω$ は歪エルミートであることが容易に示せるから^[1]，それはまた $(2, 0)$ 成分ももたない．したがって， $Ω$ は次で与えられる $(1, 1)$ 形式である：

\Omega ={\bar {\partial }}\omega .

曲率 $Ω$ は正則ベクトル束の高次コホモロジーの消滅定理，例えば小平の消滅定理や中野の消滅定理（英語版），において顕著に現れる．

脚注

^ 例えば， $E$ 上のエルミート計量の存在は，枠束の構造群がユニタリ群に帰着され， $Ω$ がこのユニタリ群のリー環（歪エルミート行列からなる）に値を持つことを意味する．

参考文献

Griffiths, Phillip; Harris, Joseph (1994), Principles of algebraic geometry, Wiley Classics Library, New York: John Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-05059-9, MR1288523
Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), “Vector bundle, analytic”, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4

外部リンク

http://mathoverflow.net/questions/87719/splitting-principle-for-holomorphic-vector-bundles/

[1] 例えば， $E$ 上のエルミート計量の存在は，枠束の構造群がユニタリ群に帰着され， $Ω$ がこのユニタリ群のリー環（歪エルミート行列からなる）に値を持つことを意味する．

[1]