曲率形式

微分幾何学では、曲率形式(curvature form)は、主バンドル上の接続形式の曲率を記述する。リーマン幾何学では、曲率形式は、リーマン曲率テンソルの代行物か一般化と考えることができる。

定義

G をリー代数 ${\mathfrak {g}}$ をもつリー群とし、P → B を主 G-バンドルとする。P 上のエーレスマン接続(Ehresmann connection)を ω とする。（エーレスマン接続は、P 上の ${\mathfrak {g}}$ に値を持つ 1-形式である。）

すると、曲率形式は P 上の ${\mathfrak {g}}$ に値を持つ 2-形式であり、

$\Omega =d\omega +{1 \over 2}[\omega ,\omega ]=D\omega$

により定義される。

ここで、$d$ は外微分を表し、$[\cdot ,\cdot ]$ は $[\alpha \otimes X,\beta \otimes Y]:=\alpha \wedge \beta \otimes [X,Y]_{\mathfrak {g}}$ により定義され、D は共変外微分(exterior covariant derivative)である。別な表現をすると、

$\,\Omega (X,Y)=d\omega (X,Y)+[\omega (X),\omega (Y)]$

である。

ベクトルバンドルの曲率形式

E → B をベクトルバンドルとすると、ω を 1-形式の行列とも考えることができるので、上の式は構造方程式

$\,\Omega =d\omega +\omega \wedge \omega$

となる。ここに $\wedge$ はウェッジ積とする。さらに詳しくは、$\omega _{\ j}^{i}$ と $\Omega _{\ j}^{i}$ で、それぞれ ω と Ω の成分を表すとすると（各々の $\omega _{\ j}^{i}$ は通常の 1-形式で、各々の $\Omega _{\ j}^{i}$ は通常の 2-形式である）、

$\Omega _{\ j}^{i}=d\omega _{\ j}^{i}+\sum _{k}\omega _{\ k}^{i}\wedge \omega _{\ j}^{k}$

となる。

例えば、リーマン多様体の接バンドルに対して、構造群は O(n) であり、Ω は O(n) のリー代数に値をもつ 2-形式であり、反対称行列である。この場合には、曲率形式 Ω は曲率テンソルで記述すると、 $\,R(X,Y)=\Omega (X,Y),$ となる。

ビアンキ恒等式

$\theta$ が標構バンドル上のベクトルに値を持つ標準 1-形式であれば、接続形式 $\omega$ のトーション $\Theta$ は、ベクトルに値を持つ 2-形式で、次の構造方程式によって定義される。

$\Theta =d\theta +\omega \wedge \theta =D\theta .$

ここに、上記のように、D は共変外微分(exterior covariant derivative)である。

第一ビアンキ恒等式は、

$D\Theta =\Omega \wedge \theta$

であり、第二ビアンキ恒等式は、

$\,D\Omega =0$

で、より一般的な主バンドルのに任意の接続に対して有効である。

参考文献

• Shoshichi Kobayashi and Katsumi Nomizu (1963) Foundations of Differential Geometry, Vol.I, Chapter 2.5 Curvature form and structure equation, p 75, Wiley Interscience.

関連項目

• 接続 (主バンドル)
• 曲がった時空の数学への入門
• チャーン・サイモンズ形式
• リーマン多様体の曲率
• ゲージ理論