ファン・デル・ヴェルデン表示

ファン・デル・ヴェルデン表示（ファン・デル・ヴェルデンひょうじ、英: Van der Waerden notation）とは理論物理学において4次元における2成分スピノル（ワイル・スピノル）の表記法^[1]^[2]。ツイスター理論や超対称性理論においては標準的な記法となっている。オランダの数学者ファン・デル・ヴェルデンに由来する。

添字の点

以下ではカイラル表現（ワイル表現）により、ディラック・スピノル $ψ$ は左右のカイラリティが上下の2成分で分かれているとする。すなわち

\psi =\psi _{\rm {L}}+\psi _{\rm {R}}={\begin{pmatrix}\xi \\0\\\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0\\{\bar {\eta }}\\\end{pmatrix}}

,

ここで $ξ, η$ はそれぞれ2成分スピノル（ワイル・スピノル）。

点なし添字

下付の点なし（ドットなし, undotted）添字をもつスピノルはカイラリティ左巻きであり、カイラル・スピノルとも呼ばれる。

\psi _{\rm {L}}={\begin{pmatrix}\xi _{\alpha }\\0\end{pmatrix}}

.^{[注釈 1]}

点付き添字

上付きの点付き（ドット付き, dotted）添字と記号の上^{[注釈 2]}に上線（バー）をもつスピノルは右巻きであり、反カイラル・スピノルとも呼ばれる。

\psi _{\rm {R}}={\begin{pmatrix}0\\{\bar {\eta }}^{\dot {\alpha }}\end{pmatrix}}

.^{[注釈 1]}

添え字を欠く記法においても、曖昧さを無くすため右巻きワイル・スピノルには上線が残される。

ハット付き添字

ハットが付く添字はディラック添字と呼ばれ、点付きと点なし添字をまとめたものである。例えば、もしそれぞれの添字が

\alpha =1,2,\,\,{\dot {\alpha }}={\dot {1}},{\dot {2}}

を動くのなら、カイラル表現の下でディラック・スピノル $ψ$ は次のように表示される:

\psi _{\hat {\alpha }}={\begin{pmatrix}\xi _{\alpha }\\{\bar {\eta }}^{\dot {\alpha }}\\\end{pmatrix}}

,

ここで

{\hat {\alpha }}=(\alpha ,{\dot {\alpha }})=1,2,{\dot {1}},{\dot {2}}

.

また $ψ$ のディラック共役 $ψ = ψ † γ 0$ はこのとき

\psi ^{\hat {\alpha }}={\begin{pmatrix}\eta ^{\alpha }&{\bar {\xi }}_{\dot {\alpha }}\end{pmatrix}}

と表記される。すなわち $η α = (η \cdot α) *, ξ \cdot α = (ξ α) *$ ^{[注釈 3]}、上線と添字の点が複素共役を意味することが分かる。

荷電共役

スピノルの荷電共役変換（ $C$ 変換）は次のように表される:

\psi \;{\overset {\rm {C}}{\longrightarrow }}\;\psi ^{\rm {C}}=C{\overline {\psi }}^{\rm {T}}

,

ここで $C$ は荷電共役行列であり、カイラル表現においては

C=i\gamma ^{2}\gamma ^{0}={\begin{pmatrix}\varepsilon &0\\0&-\varepsilon \end{pmatrix}}

である。ただし

\varepsilon =i\sigma _{2}={\begin{pmatrix}\varepsilon _{11}&\varepsilon _{12}\\\varepsilon _{21}&\varepsilon _{22}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}

,

ここで $ε ij$ は2階の完全反対称テンソルである。

よって

\psi ={\begin{pmatrix}\xi _{\alpha }\\{\bar {\eta }}^{\dot {\alpha }}\end{pmatrix}}\;{\overset {\rm {C}}{\longrightarrow }}\;\psi ^{\rm {C}}=C{\begin{pmatrix}\eta ^{\alpha }\\{\bar {\xi }}_{\dot {\alpha }}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\varepsilon _{\alpha \beta }\eta ^{\beta }\\\varepsilon ^{{\dot {\alpha }}{\dot {\beta }}}{\bar {\xi }}_{\dot {\beta }}\end{pmatrix}}

,

ここで $ε \cdot α \cdot β$ はクロネッカーのデルタ $δ$ を用いた $ε αβ ε βγ = δ α γ$ によって定義され、 $ε ij = - ε ij$ を満たす。^{[注釈 4]}

これまでの整合性から

(\psi _{\rm {L}})^{\rm {C}}={\begin{pmatrix}0\\{\bar {\xi }}^{\dot {\alpha }}\end{pmatrix}},\quad (\psi _{\rm {R}})^{\rm {C}}={\begin{pmatrix}\eta _{\alpha }\\0\end{pmatrix}}

とすると、

{\begin{pmatrix}\eta _{\alpha }\\{\bar {\xi }}^{\dot {\alpha }}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\varepsilon _{\alpha \beta }\eta ^{\beta }\\\varepsilon ^{{\dot {\alpha }}{\dot {\beta }}}{\bar {\xi }}_{\dot {\beta }}\end{pmatrix}}

.

すなわち $η α, ξ \cdot α$ の添字の上げ下げには、2階の完全反対称テンソル $ε αβ$ が用いられることが分かる。^[5]^[6]

注釈

^ ^a ^b ここで $ξ α, η \cdot α$ はそれぞれの成分ではなく、成分の集合 $(ξ 1 ξ 2) T, (η \cdot 1 η \cdot 2) T$ であることに注意。^[3]
^ 添字の上にではない
^ ここでは成分同士の等式となっている。
^ これらの表記を用いると、荷電共役行列 $C$ は次のように表される:^[4]
$C={\begin{pmatrix}\varepsilon _{\alpha \beta }&0\\0&\varepsilon ^{{\dot {\alpha }}{\dot {\beta }}}\end{pmatrix}}$ .

出典

^ Van der Waerden, B.L. (1929). “Spinoranalyse”. Nachr. Ges. Wiss. Göttingen Math. Phys. 1929: 100–109.
^ Veblen O. (1933). “Geometry of two-component Spinors”. Proc. Natl. Acad. Sci. USA 19: 462–474. Bibcode: 1933PNAS...19..462V. doi:10.1073/pnas.19.4.462.
^ 佐古 2007, p. 25.
^ 佐古 2007, p. 26.
^ 林青司「CP対称性の破れ～小林・益川模型から深める素粒子物理～」『臨時別冊・数理科学』第91巻、サイエンス社、2012年6月、40-41頁。
^ 林 2015, pp. 70–71.

参考文献

Spinors in physics - ウェイバックマシン（2016年9月20日アーカイブ分）
P. Labelle (2010), Supersymmetry, Demystified series, McGraw-Hill (USA), ISBN 978-0-07-163641-4
Hurley, D.J.; Vandyck, M.A. (2000), Geometry, Spinors and Applications, Springer, ISBN 1-85233-223-9
Penrose, R.; Rindler, W. (1984), Spinors and Space–Time, Vol. 1, Cambridge University Press, pp. 107-, ISBN 0-521-24527-3 - ただし印刷上の理由により、点 · の代わりにプライム ′ を用いている。
Budinich, P.; Trautman, A. (1988), The Spinorial Chessboard, Springer-Verlag, ISBN 0-387-19078-3
九後汰一郎『ゲージ場の量子論〈1〉』培風館〈新物理学シリーズ〉、1989年、8-29頁。ISBN 978-4563024239。
ヴェス, J.、バガー, J. 著、志摩一成訳「付録A. 表記法とスピノル代数」『超対称性と超重力』丸善出版、2011年（原著1992年）、219頁。ISBN 978-4621084465。
佐古彰史『超対称ゲージ理論と幾何学』日本評論社、2007年。ISBN 978-4535784680。
林青司「3.1 スピノールの2成分表示とスピノールのタイプ」『素粒子の標準模型を超えて』丸善出版〈現代理論物理学シリーズ〉、2015年、68-74頁。ISBN 978-4621065099。