チャーン・サイモンズ形式
数学において、チャーン･サイモンズ形式(英: Chern–Simons form)とは、ある第二特性類のことを指す。それらは、ゲージ理論で興味をもたれ、（特に3-形式は）チャーン・サイモンズ理論の作用を定義する。理論は陳省身とジェームズ・サイモンズの名前にちなんでいて、1974年の共著論文、題名：｢Characteristic Forms and Geometric Invariants｣の中で、この理論が生まれた。(Chern & Simons 1974)
定義
[編集]多様体が与えられ、多様体の上のリー代数に値を持つ1-形式(1-form)の空間を とすると、以下のようにして、（チャーン・サイモンズ）p-形式の族を定義することができる。
1-次元では、チャーン・サイモンズ 1-形式は次の式で与えられる。
![{\displaystyle {\rm {Tr}}[\mathbf {A} ].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3718915dc65754eb44ae1df8d1d904e89ad1cb26)
3-次元では、チャーン・サイモンズ 3-形式 は次の式で与えられる。
![{\displaystyle {\rm {Tr}}\left[\mathbf {F} \wedge \mathbf {A} -{\frac {1}{3}}\mathbf {A} \wedge \mathbf {A} \wedge \mathbf {A} \right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ea7f0ec6f71955bab1620641fb8d49d4be8a27c)
5-次元では、チャーン・サイモンズ 5-形式 は次の式で与えられる。
![{\displaystyle {\rm {Tr}}\left[\mathbf {F} \wedge \mathbf {F} \wedge \mathbf {A} -{\frac {1}{2}}\mathbf {F} \wedge \mathbf {A} \wedge \mathbf {A} \wedge \mathbf {A} +{\frac {1}{10}}\mathbf {A} \wedge \mathbf {A} \wedge \mathbf {A} \wedge \mathbf {A} \wedge \mathbf {A} \right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd73a30abed2b63d6abbf388665f937906c0cf0e)
ここに曲率 F は次のように定義される。
一般のチャーン・サイモンズ形式 は次のような方法で定義される。
ここにウェッジ積は Fk と定義する。この式の右辺は、接続 の k-番目のチャーン類に比例する。
一般に、チャーン・サイモンズ p-形式は任意の奇数 p に対し定義される。(定義はゲージ理論も参照のこと)。p-次元多様体の上のチャーン・サイモンズ項の積分は、大域的な幾何学的不変量であり、典型的には、整数倍を同一視するとゲージ不変（な不変量）となる。
関連項目
[編集]参考文献
[編集]- 「Characteristic forms and geometric invariants」『The Annals of Mathematics, Second Series』第99巻、第1号、48–69頁、1974年。JSTOR 1971013。.