準コンパクト射

代数幾何学において、スキームの射 $f:X\to Y$ が準コンパクト射（じゅんコンパクトしゃ、英: quasi-compact morphism）であるとは、Y にある開アフィン部分スキーム $V_{i}$ による被覆が存在して、原像 $f^{-1}(V_{i})$ が全て位相空間として準コンパクトとなることを言う^[1]。f が準コンパクトであれば、f による準コンパクト開部分スキーム（例えば開アフィン部分スキーム）の原像は準コンパクトである。

準コンパクト射の定義において、「開アフィン部分スキームによる被覆」を「準コンパクトな開部分スキームによる被覆」に弱めることは、意味が変わってしまうためできない。例^[2]として、根基イデアルについて昇鎖条件を満たさない環 A をとり、 $X=\operatorname {Spec} A$ と置く。X は準コンパクトではない開部分集合 U を含む。Y を、2つの X を U で貼り合わせたスキームとする。X と Y はともに準コンパクトである。 $f:X\to Y$ を X の1つのコピーの包含関係による自然な射とすると、もう1つの X （これは Y の開アフィン）のこの射による原像は U であり、これは準コンパクトではない。したがって、f は準コンパクト射ではない。

準コンパクトスキームからアフィンスキームへの射は準コンパクトである。

$f:X\to Y$ をスキームの準コンパクト射とする。このとき、 $f(X)$ が閉となるのは、特殊化で安定しているとき、かつそのときに限る。

準コンパクト射の合成は準コンパクトである。準コンパクト射を基底変換したものは準コンパクトである。

アフィンスキームは準コンパクトである。スキームが準コンパクトであるのは、開アフィン部分スキームの有限和のときだけであり、かつそのときに限る。セールの判定法（英語版）は、準コンパクトスキームがアフィンであるための必要十分条件を与える。

準コンパクトスキームは少なくとも1つの閉点を持つ ^[3]。

脚注

^ これはハーツホーンでの定義である。
^ Remark 1.5 in Vistoli
^ Schwede, Karl (2005), “Gluing schemes and a scheme without closed points”, Recent progress in arithmetic and algebraic geometry, Contemp. Math., 386, Amer. Math. Soc., Providence, RI, pp. 157–172, doi:10.1090/conm/386/07222, MR 2182775 . See in particular Proposition 4.1.

参考文献

Hartshorne, Algebraic Geometry.
Angelo Vistoli, "Notes on Grothendieck topologies, fibered categories and descent theory." arXiv:math/0412512

外部リンク

When is an irreducible scheme quasi-compact?

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[1] これはハーツホーンでの定義である。

[2] Remark 1.5 in Vistoli

[3] Schwede, Karl (2005), “Gluing schemes and a scheme without closed points”, Recent progress in arithmetic and algebraic geometry, Contemp. Math., 386, Amer. Math. Soc., Providence, RI, pp. 157–172, doi:10.1090/conm/386/07222, MR 2182775 . See in particular Proposition 4.1.

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関連項目

脚注

参考文献

外部リンク