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熱的残存粒子 」は
暫定的なもの です。
議論は
ノート を参照してください。
（2020年8月 ）
熱的残存粒子 (ねつてきざんぞんりゅうし, thermal relic) とは、現代宇宙論 において、初期宇宙 においては熱平衡 にあったものの、宇宙の歴史 のある時点において相互作用が実効的に無視できるようになり、それ以降自由粒子として振る舞うような粒子の総称である[ 1] [ 2] [ 3] 宇宙ニュートリノ背景 は熱い残存粒子であり、暗黒物質 の候補であるWIMP は冷たい残存粒子モデルに基づくものである。
ある粒子
χ
{\displaystyle \chi }
χ
¯
{\displaystyle {\bar {\chi }}}
対消滅 チャンネルを持つ場合を考える。この対消滅反応の反応率は反粒子の数密度
n
χ
¯
{\displaystyle n_{\bar {\chi }}}
σ
{\displaystyle \sigma }
v
{\displaystyle v}
P
=
n
χ
¯
σ
v
{\displaystyle P=n_{\bar {\chi }}\sigma v}
である[ 4] 初期宇宙 においてはこの反応が頻繁に起き、粒子
χ
{\displaystyle \chi }
P
{\displaystyle P}
ハッブルパラメータ ）
H
{\displaystyle H}
χ
{\displaystyle \chi }
[ 2]
例えばニュートリノ は弱い相互作用 により初期宇宙においてはレプトン （特に電子 ・陽電子 ）と相互作用し熱平衡にあるが、およそ温度 1.5 MeV で脱結合し、その後は自由粒子として振る舞う[ 5] 宇宙ニュートリノ背景 として存在し続けていると考えられており、間接的な証拠はあるものの、その数密度は一世代あたり112個/cm3 と小さく[ 5] [ 6]
あるいは、熱的残存粒子は暗黒物質 を生成するシナリオのひとつとして有力視されている。特に相互作用断面積や質量として電弱相互作用 から予想される値を仮定するとき、冷たい残存粒子シナリオはその粒子の現在の量として暗黒物質の存在量を再現するため、この種の粒子（WIMP として知られる）は特に有力な暗黒物質の候補となっている[ 7]
本節では脱結合後の熱的残存粒子の存在量がどのように決定されるのかを述べる。なお通常の熱的残存粒子シナリオでは問題の粒子
χ
{\displaystyle \chi }
χ
¯
{\displaystyle {\bar {\chi }}}
バリオン数生成 の理論に動機づけられて粒子・反粒子間に非対称性を導入するモデルもあり、これはAsymmetric dark matter として知られている[ 8]
問題の粒子
χ
{\displaystyle \chi }
χ
¯
{\displaystyle {\bar {\chi }}}
対生成 ・対消滅 チャンネルを持つものと仮定する[ 9]
χ
+
χ
¯
⇌
X
+
X
¯
{\displaystyle \chi +{\bar {\chi }}\rightleftharpoons X+{\bar {X}}}
ただしここではすべてのチャンネルで反応先の粒子
X
{\displaystyle X}
X
¯
{\displaystyle {\bar {X}}}
T
{\displaystyle T}
[ 1]
この系は一般相対論的なボルツマン方程式 によって記述されるが、それを積分することにより粒子数密度
n
χ
{\displaystyle n_{\chi }}
[ 10] [ 11] [ 4]
d
n
χ
d
t
+
3
H
n
χ
=
−
⟨
σ
v
⟩
[
n
χ
2
−
(
n
χ
E
Q
)
2
]
{\displaystyle {\frac {dn_{\chi }}{dt}}+3Hn_{\chi }=-\langle \sigma v\rangle \left[n_{\chi }^{2}-\left(n_{\chi }^{\mathrm {EQ} }\right)^{2}\right]}
左辺第2項は宇宙膨張による希釈を、右辺は対生成・対消滅による粒子数密度の変化を表す。なお右辺の
⟨
σ
v
⟩
{\displaystyle \langle \sigma v\rangle }
[ 4]
n
χ
E
Q
{\displaystyle n_{\chi }^{\mathrm {EQ} }}
n
χ
E
Q
=
g
χ
∫
1
e
β
ε
p
∓
1
d
3
p
(
2
π
ℏ
)
3
=
g
χ
ζ
(
3
)
k
B
3
π
2
ℏ
3
c
3
T
3
×
1
2
ζ
(
3
)
∫
0
∞
y
2
exp
x
2
+
y
2
∓
1
d
y
{\displaystyle n_{\chi }^{\mathrm {EQ} }=g_{\chi }\int {\frac {1}{e^{\beta \varepsilon _{\mathbf {p} }}\mp 1}}{\frac {d^{3}p}{(2\pi \hbar )^{3}}}=g_{\chi }{\frac {\zeta (3)k_{\mathrm {B} }^{3}}{\pi ^{2}\hbar ^{3}c^{3}}}T^{3}\times {\frac {1}{2\zeta (3)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {y^{2}}{\exp {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\mp 1}}dy}
である。後者は粒子
χ
{\displaystyle \chi }
n
χ
=
g
χ
′
ζ
(
3
)
k
B
3
π
2
ℏ
3
c
3
T
3
{\displaystyle n_{\chi }=g'_{\chi }{\frac {\zeta (3)k_{\mathrm {B} }^{3}}{\pi ^{2}\hbar ^{3}c^{3}}}T^{3}}
n
χ
=
g
χ
(
m
χ
k
B
T
2
π
ℏ
2
)
3
2
e
−
β
m
χ
c
2
{\displaystyle n_{\chi }=g_{\chi }\left({\frac {m_{\chi }k_{\mathrm {B} }T}{2\pi \hbar ^{2}}}\right)^{\frac {3}{2}}e^{-\beta m_{\chi }c^{2}}}
ζ
(
s
)
{\displaystyle \zeta (s)}
リーマンゼータ関数 （
ζ
(
3
)
{\displaystyle \zeta (3)}
アペリーの定数 ）、
g
χ
′
{\displaystyle g'_{\chi }}
ボース粒子 であるときその内部自由度
g
χ
{\displaystyle g_{\chi }}
フェルミ粒子 であるとき
3
4
g
χ
{\displaystyle {\frac {3}{4}}g_{\chi }}
独立変数として時刻
t
{\displaystyle t}
T
{\displaystyle T}
m
χ
{\displaystyle m_{\chi }}
x
:=
m
χ
c
2
k
B
T
{\displaystyle x:={\frac {m_{\chi }c^{2}}{k_{\mathrm {B} }T}}}
を導入する[ 12] [ 13]
x
≲
1
{\displaystyle x\lesssim 1}
χ
{\displaystyle \chi }
x
≫
1
{\displaystyle x\gg 1}
[ 3] [ 13]
s
{\displaystyle s}
Y
:=
n
χ
s
{\displaystyle Y:={\frac {n_{\chi }}{s}}}
を用いる[ 12] [ 14] [ 15] [ 16]
d
Y
d
x
=
−
π
45
g
∗
S
g
∗
⟨
σ
v
⟩
x
2
[
Y
2
−
Y
E
Q
2
]
{\displaystyle {\frac {dY}{dx}}=-{\sqrt {\frac {\pi }{45}}}{\frac {g_{*S}}{\sqrt {g_{*}}}}{\frac {\langle \sigma v\rangle }{x^{2}}}\left[Y^{2}-Y_{\mathrm {EQ} }^{2}\right]}
ここに
g
∗
{\displaystyle g_{*}}
g
∗
S
{\displaystyle g_{*S}}
有効自由度 である。
時刻
x
f
≲
1
{\displaystyle x_{f}\lesssim 1}
Y
(
x
)
=
n
χ
(
x
)
/
s
(
x
)
{\displaystyle Y(x)=n_{\chi }(x)/s(x)}
[ 15]
n
χ
(
x
f
)
s
(
x
f
)
=
n
χ
0
s
0
{\displaystyle {\frac {n_{\chi }(x_{f})}{s(x_{f})}}={\frac {n_{\chi 0}}{s_{0}}}}
相対論的な粒子の数密度の表式
n
χ
=
g
χ
′
ζ
(
3
)
k
B
3
π
2
ℏ
3
c
3
T
3
{\displaystyle n_{\chi }=g'_{\chi }{\frac {\zeta (3)k_{\mathrm {B} }^{3}}{\pi ^{2}\hbar ^{3}c^{3}}}T^{3}}
s
(
x
)
=
g
∗
S
(
x
)
2
π
2
k
B
4
45
ℏ
3
c
3
T
3
{\displaystyle s(x)=g_{*S}(x){\frac {2\pi ^{2}k_{\mathrm {B} }^{4}}{45\hbar ^{3}c^{3}}}T^{3}}
Y
f
:=
45
ζ
(
3
)
2
π
4
k
B
g
χ
′
g
∗
S
(
x
f
)
{\displaystyle Y_{f}:={\frac {45\zeta (3)}{2\pi ^{4}k_{\mathrm {B} }}}{\frac {g'_{\chi }}{g_{*S}(x_{f})}}}
[ 17]
現在の宇宙では粒子
χ
{\displaystyle \chi }
ρ
χ
0
c
2
=
m
χ
c
2
n
χ
0
=
m
χ
c
2
s
0
Y
f
{\displaystyle \rho _{\chi 0}c^{2}=m_{\chi }c^{2}n_{\chi 0}=m_{\chi }c^{2}s_{0}Y_{f}}
と書ける。従って、粒子
χ
{\displaystyle \chi }
Ω
χ
0
{\displaystyle \Omega _{\chi 0}}
Ω
χ
0
=
2
×
8
π
G
ρ
χ
0
3
H
0
2
=
16
ζ
(
3
)
3
π
G
m
χ
ℏ
3
c
3
g
∗
S
0
(
k
B
T
0
)
3
H
0
2
g
′
g
∗
S
(
x
f
)
{\displaystyle \Omega _{\chi 0}=2\times {\frac {8\pi G\rho _{\chi 0}}{3H_{0}^{2}}}={\frac {16\zeta (3)}{3\pi }}{\frac {Gm_{\chi }}{\hbar ^{3}c^{3}}}g_{*S0}{\frac {(k_{\mathrm {B} }T_{0})^{3}}{H_{0}^{2}}}{\frac {g'}{g_{*S}(x_{f})}}}
により与えられる[ 17]
χ
¯
{\displaystyle {\bar {\chi }}}
CMB 温度
T
0
{\displaystyle T_{0}}
ハッブル定数
H
0
{\displaystyle H_{0}}
Ω
χ
0
=
0.15
h
−
2
g
′
g
∗
S
(
x
f
)
(
m
χ
c
2
1
e
V
)
{\displaystyle \Omega _{\chi 0}=0.15h^{-2}{\frac {g'}{g_{*S}(x_{f})}}\left({\frac {m_{\chi }c^{2}}{1\,\mathrm {eV} }}\right)}
という結論を得る[ 17]
冷たい残存粒子の存在量
Y
{\displaystyle Y}
[ 18]
λ
{\displaystyle \lambda }
Y
E
Q
{\displaystyle Y_{\mathrm {EQ} }}
Y
(
∞
)
{\displaystyle Y(\infty )}
粒子
χ
{\displaystyle \chi }
T
{\displaystyle T}
k
B
T
≪
m
χ
c
2
{\displaystyle k_{\mathrm {B} }T\ll m_{\chi }c^{2}}
n
χ
{\displaystyle n_{\chi }}
n
χ
=
g
χ
(
m
χ
k
B
T
2
π
ℏ
2
)
3
2
e
−
β
m
χ
c
2
{\displaystyle n_{\chi }=g_{\chi }\left({\frac {m_{\chi }k_{\mathrm {B} }T}{2\pi \hbar ^{2}}}\right)^{\frac {3}{2}}e^{-\beta m_{\chi }c^{2}}}
と書ける。従って熱平衡にあるときの
Y
{\displaystyle Y}
Y
E
Q
(
x
)
=
45
4
2
π
7
/
2
g
χ
g
∗
S
(
x
)
x
3
2
e
−
x
{\displaystyle Y_{\mathrm {EQ} }(x)={\frac {45}{4{\sqrt {2}}\pi ^{7/2}}}{\frac {g_{\chi }}{g_{*S}(x)}}x^{\frac {3}{2}}e^{-x}}
と表示できる[ 19]
χ
{\displaystyle \chi }
Y
{\displaystyle Y}
しばしば
⟨
σ
v
⟩
{\displaystyle \langle \sigma v\rangle }
[ 19] [ 20]
⟨
σ
v
⟩
∝
T
n
{\displaystyle \langle \sigma v\rangle \propto T^{n}}
λ
{\displaystyle \lambda }
λ
:=
s
H
⟨
σ
v
⟩
|
x
=
1
{\displaystyle \lambda :=\left.{\frac {s}{H}}\langle \sigma v\rangle \right|_{x=1}}
により定義すると、
Y
{\displaystyle Y}
d
Y
d
x
=
−
λ
x
n
+
2
[
Y
2
−
Y
E
Q
2
]
{\displaystyle {\frac {dY}{dx}}=-{\frac {\lambda }{x^{n+2}}}\left[Y^{2}-Y_{\mathrm {EQ} }^{2}\right]}
と書き直せる[ 19]
λ
{\displaystyle \lambda }
Y
(
x
)
{\displaystyle Y(x)}
Y
E
Q
{\displaystyle Y_{\mathrm {EQ} }}
x
f
{\displaystyle x_{f}}
x
f
n
−
1
2
e
x
f
=
45
4
2
π
7
/
2
g
χ
g
∗
S
λ
{\displaystyle x_{f}^{n-{\frac {1}{2}}}e^{x_{f}}={\frac {45}{4{\sqrt {2}}\pi ^{7/2}}}{\frac {g_{\chi }}{g_{*S}}}\lambda }
を満足する値
x
f
{\displaystyle x_{f}}
[ 21]
Y
{\displaystyle Y}
Y
(
∞
)
{\displaystyle Y(\infty )}
Y
(
∞
)
∼
Y
E
Q
(
x
f
)
=
x
f
n
+
1
λ
{\displaystyle Y(\infty )\sim Y_{\mathrm {EQ} }(x_{f})={\frac {x_{f}^{n+1}}{\lambda }}}
である[ 22]
現在の宇宙における冷たい残存粒子の密度パラメータ
Ω
χ
0
{\displaystyle \Omega _{\chi 0}}
[ 22]
Ω
χ
0
=
2
×
8
π
G
3
H
0
2
m
χ
s
0
Y
(
∞
)
=
32
π
5
/
2
9
5
m
P
l
3
g
∗
S
0
T
0
3
H
0
2
g
∗
g
∗
S
⟨
σ
v
⟩
1
x
f
n
+
1
{\displaystyle \Omega _{\chi 0}=2\times {\frac {8\pi G}{3H_{0}^{2}}}m_{\chi }s_{0}Y(\infty )={\frac {32\pi ^{5/2}}{9{\sqrt {5}}m_{\mathrm {Pl} }^{3}}}{\frac {g_{*S0}T_{0}^{3}}{H_{0}^{2}}}{\frac {\sqrt {g_{*}}}{g_{*S}\langle \sigma v\rangle _{1}}}x_{f}^{n+1}}
熱い残存粒子が現在の宇宙に非相対論的な粒子として存在するならば、それはホットダークマター として知られるタイプの暗黒物質 として振る舞うが、その存在は宇宙論的観測によって棄却されている[ 23]
Ω
c
0
=
0.2582
{\displaystyle \Omega _{c0}=0.2582}
m
χ
{\displaystyle m_{\chi }}
ニュートリノ の場合、この考察から
m
ν
≪
10
e
V
{\displaystyle m_{\nu }\ll 10\,\mathrm {eV} }
[ 17]
g
∗
(
x
f
)
{\displaystyle g_{*}(x_{f})}
g
∗
(
x
f
)
≥
106.75
{\displaystyle g_{*}(x_{f})\geq 106.75}
10
e
V
{\displaystyle 10\,\mathrm {eV} }
[ 19]
冷たい残存粒子はコールドダークマター と呼ばれるタイプの暗黒物質となる[ 19] [ 22] [ 24] ユニタリー性 により相互作用断面積は粒子質量と
σ
≲
4
π
m
χ
2
{\displaystyle \sigma \lesssim {\frac {4\pi }{m_{\chi }^{2}}}}
という関係にあるため、
Ω
χ
≲
0.2
{\displaystyle \Omega _{\chi }\lesssim 0.2}
m
χ
≲
120
T
e
V
{\displaystyle m_{\chi }\lesssim 120\,\mathrm {TeV} }
[ 25]
具体的に相互作用断面積およびその質量として電弱相互作用 から示唆される値を用いるとき、冷たい残存粒子シナリオが予測する暗黒物質量は現在の観測値を「奇跡的」に再現する[ 7] [ 26] [ 7] WIMP ) と呼ばれる種類の素粒子であると考える根拠のひとつとなっている。
^ a b 松原, p. 39.
^ a b Profumo, p. 34-35.
^ a b 現代の天文学2, pp. 91-92.
^ a b c Profumo, pp. 47-54.
^ a b 松原隆彦『宇宙論の物理 上』東京大学出版会、2014年、92-93頁。ISBN 978-4130626156 。
^ 中家剛『ニュートリノ物理 ―ニュートリノで探る素粒子と宇宙―（基本法則から読み解く物理学最前線 9）』共立出版、2016年、41頁。ISBN 9784320035294 。 ^ a b c Profumo, pp. 39-41.
^ Profumo, pp. 206-210.
^ Profumo, p. 36.
^ 松原, pp. 27-29.
^ 現代の天文学2, pp. 86-90
^ a b 松原, p. 40.
^ a b Profumo, p. 39.
^ 現代の天文学2, p. 90.
^ a b 松原, p. 41.
^ Profumo, p. 54.
^ a b c d 松原, p. 42.
^ 松原, p. 44, 図6.5.
^ a b c d e 松原, p. 43.
^ Profumo, p. 55.
^ 松原, p. 44.
^ a b c 松原, p. 45.
^ 松原, p. 41-42.
^ 現代の天文学2, p. 92.
^ Profumo, p. 42.
^ カイ・マルテンス. “なぜWIMPを探すのか、どうやって捕らえるのか ”. 2020年8月1日 閲覧。
![{\displaystyle {\frac {dn_{\chi }}{dt}}+3Hn_{\chi }=-\langle \sigma v\rangle \left[n_{\chi }^{2}-\left(n_{\chi }^{\mathrm {EQ} }\right)^{2}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe625fff0f65de3d50b0de90f962e453b53b2765)
![{\displaystyle {\frac {dY}{dx}}=-{\sqrt {\frac {\pi }{45}}}{\frac {g_{*S}}{\sqrt {g_{*}}}}{\frac {\langle \sigma v\rangle }{x^{2}}}\left[Y^{2}-Y_{\mathrm {EQ} }^{2}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd84f1a7cebd3fd6ff5420505f613f38a3a4fc8b)
![{\displaystyle {\frac {dY}{dx}}=-{\frac {\lambda }{x^{n+2}}}\left[Y^{2}-Y_{\mathrm {EQ} }^{2}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b27c6da1592dacaaaba9fd083b2c0fc90f8582b2)
