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ハーゲン・ポアズイユ流れ（ハーゲン・ポアズイユながれ、英語: Hagen–Poiseuille flow）とは、管径が一定の円管を流れる粘性をもつ流体（非圧縮性のニュートン流体）の定常層流解^[1]、つまり円形の管の中をゆっくり流れる水などの流れ方に関する厳密解である。このような流れでは非圧縮性ニュートン流体の運動方程式であるナビエ・ストークス方程式を解析的に解くことができ、この流れは数少ない厳密解のうち最も有名でかつ重要な流れである^[2]。

特にハーゲン・ポアズイユの法則（英語: Hagen-Poiseuille law）またはハーゲン・ポアズイユの式（英語: Hagen–Poiseuille equation）と言った場合には、このような流れにおける（体積）流量に関する公式のことを指す^[3]。また、「ハーゲン」を省略してポアズイユ流れとも呼ばれるが、概要で説明されるようにこの呼び方は正当な評価とは言えない。

概要

粘性流体が管径が一定の円管を層流で流れる場合、その流速分布は、厳密に

u(r)={\frac {gI_{e}}{4\nu }}\left(a^{2}-r^{2}\right)

となる^[4]。ここに、u は流下方向の流速、r は円管中心からの半径方向の距離（0 < r < a ）、g は重力加速度、I_e は動水勾配またはエネルギー勾配^{[注 1]}^{[注 2]}、νは動粘性係数、a は円管の半径である。この式は、円管内を層流で流れる粘性流体の速度分布が放物線を描くことを表す。

この流速分布は、1839年にドイツのゴットヒルフ・ハーゲン（土木技術者で、下水道などの設計をしていた）が、1840年にフランスのジャン・ポアズイユ（医師で、血流の研究をしていた）がそれぞれ別々に発見した^[1]。それで、このような流れの解をハーゲン・ポアズイユ流れと呼ぶ。ヨーロッパなど、特に技術者より医師の方が社会的地位が高いと考えられていた地域などでは、技術者であるハーゲンの名前をあえて省き、単にポアズイユ流れと呼ぶこともあるが、これは正当な評価とは言えない^[4]。

この方程式はナビエ・ストークス方程式（レイノルズ方程式）において、

乱れ変動がなくレイノルズ応力（英語版）がゼロである（層流条件）
流れは定常（時間的に変化しない）
断面方向に流れない（流下方向のみに流れる）
流体は連続体としてふるまう
壁面において流体の速度0（スリップしない）

という条件から導くことが出来る^[4]。しかし、先に述べたハーゲンとポアズイユは、このナビエ・ストークス方程式を十分に理解してこの流速分布を誘導したのではなく、実験を行ってその観察などからこの法則を発見したと考えられている^[4]。

ハーゲン・ポアズイユの式

前述した流速分布式を断面で積分することにより、以下の（体積）流量Q に関するハーゲン・ポアズイユの式が得られる。

Q=\int _{0}^{a}u(r)\cdot 2\pi rdr={\frac {\pi gI_{e}}{8\nu }}a^{4}

ここで、各記号の意味は前述と同じである。

これを変形すると、

\nu ={\frac {\pi ga^{4}}{8Q}}I_{e}

となり、半径a の円管を用意し、そこに粘性流体を層流で流したときに流れる流量Q 、及び円管内の2点間のピエゾ水頭をピエゾメータ（英語版）で計測して動水勾配I_e を測定できれば、その流体の動粘性係数νを求めることができる。

ダルシー・ワイスバッハの式との関係

この結果を、ダルシー・ワイスバッハの式：

I_{e}=f\cdot {\frac {1}{2a}}\cdot {\frac {\bar {u}}{2g}}

{\bar {u}}={\frac {Q}{\pi a^{2}}}

：平均流速

に代入することで、摩擦損失係数f とレイノルズ数：

Re={\frac {{\bar {u}}\cdot 2a}{\nu }}

の関係が次式で与えられる。

f={\frac {64}{Re}}

脚注

[脚注の使い方]

注釈

^ 管径が一定であるため、流下方向に速度水頭一定となり、ゆえに両者は等しくなる^[1]。
^ 管長L での圧力損失Δp を用いると、
$I_{e}={\frac {\Delta p}{\rho gL}}$
である（ただしρは密度）。

参考文献

禰津家久、冨永晃宏『水理学』朝倉書店、2006年。ISBN 4-254-26139-X。
日下部重幸、檀和幸、湯城豊勝『水理学』コロナ社、2003年。ISBN 4-339-05507-7。

外部リンク

『ポアズイユの流れ』 - コトバンク

[n1-5] 管径が一定であるため、流下方向に速度水頭一定となり、ゆえに両者は等しくなる^[1]。

[6] 管長L での圧力損失Δp を用いると、
$I_{e}={\frac {\Delta p}{\rho gL}}$
である（ただしρは密度）。

[nt_123-1] 禰津・冨永『水理学』、p.123。

[nt_122-2] 禰津・冨永『水理学』、p.123。

[kdy_81-3] 日下部・檀・湯城『水理学』、p.81。

[nt_124-4] 禰津・冨永『水理学』、p.124。

[1]

[2]

[3]

[4]

[注 1]

[注 2]

@@ 1行目: / 1行目: @@
+'''ハーゲン・ポアズイユ流れ'''（ハーゲン・ポアズイユながれ、{{lang-en|Hagen–Poiseuille flow}}）とは、管径が一定の円管を流れる[[粘性]]をもつ[[流体]]（[[非圧縮性流れ|非圧縮性]]の[[ニュートン流体]]）の[[定常]][[層流]]解<ref name="nt_123">[[#nt|禰津・冨永『水理学』]]、p.123。</ref>、つまり円形の管の中をゆっくり流れる水などの流れ方に関する厳密解である。このような流れでは非圧縮性ニュートン流体の運動方程式である[[ナビエ・ストークス方程式]]を解析的に解くことができ、この流れは数少ない厳密解のうち最も有名でかつ重要な流れである<ref name="nt_122">[[#nt|禰津・冨永『水理学』]]、p.123。</ref>。
-'''ポアズイユの法則''' または'''ハーゲン＝ポアズイユの法則''' は粘性流体の[[層流]]流れを求める式である。フランスの学者[[ジャン・ポアズイユ]]（とドイツの[[ゴットヒルフ・ハーゲン]]）によって導かれた。
+特に'''ハーゲン・ポアズイユの法則'''（{{lang-en|Hagen-Poiseuille law}}）または'''[[#ハーゲン・ポアズイユの式|ハーゲン・ポアズイユの式]]'''（{{lang-en|Hagen–Poiseuille equation}}）と言った場合には、このような流れにおける（体積）[[流量]]に関する公式のことを指す<ref name="kdy_81">[[#kdy|日下部・檀・湯城『水理学』]]、p.81。</ref>。また、「ハーゲン」を省略して'''ポアズイユ流れ'''とも呼ばれるが、[[#概要|概要]]で説明されるようにこの呼び方は正当な評価とは言えない。
-円筒管を通過する粘性流体の層流ながれの[[流量]]は
-:<math> \Phi_{V} = {dV\over dt} = v_{s}\pi r^{2} = {\pi r^{4}\over 8 \eta} \left( - { d p^{\star} \over dz}\right) = {\pi r^{4}\over 8 \eta} { \Delta p^{\star} \over \ell} \; , </math>
+== 概要 ==
-ここで
+粘性流体が管径が一定の円管を[[層流]]で流れる場合、その流速分布は、厳密に
-::''V'' 　は単位時間に通過する流体の体積
+: <math>u(r) = \frac{g I_e}{4 \nu} \left( a^2 - r^2 \right)</math>
-::''v''<sub>s</sub>　は半径方向の平均流速
+となる<ref name="nt_124">[[#nt|禰津・冨永『水理学』]]、p.124。</ref>。ここに、''u'' は流下方向の流速、''r'' は円管中心からの半径方向の距離（0 < ''r'' < ''a'' ）、''g'' は[[重力加速度]]、''I''<sub>e</sub> は動水勾配またはエネルギー勾配{{#tag:ref|管径が一定であるため、流下方向に速度水頭一定となり、ゆえに両者は等しくなる<ref name="nt_123" />。|group="注"|name="n1"}}<ref group="注">管長''L'' での[[圧力損失]]&Delta;''p'' を用いると、
-::''r'' 　は管の内径（半径）
+:<math>I_e = \frac{\Delta p}{\rho gL} </math>
-::&Delta;''p''<sup>*</sup>　は圧力降下
+である（ただし&rho;は密度）。</ref>、&nu;は[[動粘性係数]]、''a'' は円管の[[半径]]である。この式は、円管内を層流で流れる粘性流体の速度分布が[[放物線]]を描くことを表す。
-::&eta;　は流体の粘度
-::''l''　は流れ方向の長さである。
+この流速分布は、[[1839年]]にドイツの[[ゴットヒルフ・ハーゲン]]（[[土木技術者]]で、下水道などの設計をしていた）が、[[1840年]]にフランスの[[ジャン・ポアズイユ]]（[[医師]]で、血流の研究をしていた）がそれぞれ別々に発見した<ref name="nt_123" />。それで、このような流れの解を'''ハーゲン・ポアズイユ流れ'''と呼ぶ。[[ヨーロッパ]]など、特に技術者より医師の方が社会的地位が高いと考えられていた地域などでは、技術者であるハーゲンの名前をあえて省き、単に'''ポアズイユ流れ'''と呼ぶこともあるが、これは正当な評価とは言えない<ref name="nt_124" />。
+この方程式は[[ナビエ・ストークス方程式]]（レイノルズ方程式）において、
-{{DEFAULTSORT:ほあすいゆのほうそく}}
+# 乱れ変動がなく{{仮リンク|レイノルズ応力|en|Reynolds stress}}がゼロである（層流条件）
-[[Category:流体力学]]
+# 流れは定常（時間的に変化しない）
-[[Category:自然科学の法則]]
+# 断面方向に流れない（流下方向のみに流れる）
-{{sci-stub}}
+# 流体は連続体としてふるまう
+# 壁面において流体の速度0（スリップしない）
+という条件から導くことが出来る<ref name="nt_124" />。しかし、先に述べたハーゲンとポアズイユは、このナビエ・ストークス方程式を十分に理解してこの流速分布を誘導したのではなく、実験を行ってその観察などからこの法則を発見したと考えられている<ref name="nt_124" />。
+== ハーゲン・ポアズイユの式 ==
-[[bs:Hagen-Poiseuilleova jednačina]]
+{{出典の明記|date=2022-02-10|section=1}}
-[[de:Gesetz von Hagen-Poiseuille]]
+前述した流速分布式を断面で積分することにより、以下の（体積）流量''Q'' に関するハーゲン・ポアズイユの式が得られる。
-[[en:Hagen–Poiseuille equation]]
+:<math>Q = \int^a_0 u(r)\cdot 2\pi r  dr = \frac{\pi g I_e}{8 \nu} a^4</math>
-[[es:Ley de Poiseuille]]
+ここで、各記号の意味は前述と同じである。
-[[fr:Écoulement de Poiseuille]]
-[[it:Legge di Poiseuille]]
+これを変形すると、
-[[kk:Пуазейль заңы]]
+:<math>\nu = \frac{\pi g a^4}{8 Q} I_e</math>
-[[nl:Wet van Hagen-Poiseuille]]
+となり、半径''a'' の円管を用意し、そこに粘性流体を[[層流]]で流したときに流れる流量''Q'' 、及び円管内の2点間のピエゾ水頭を{{仮リンク|ピエゾメータ|en|piezometer}}で計測して動水勾配''I''<sub>e</sub> を測定できれば、その流体の[[動粘性係数]]''&nu;''を求めることができる。
-[[pl:Prawo Hagena-Poiseuille'a]]
-[[pt:Lei de Poiseuille]]
+== ダルシー・ワイスバッハの式との関係 ==
-[[sl:Poiseuillov zakon]]
+{{出典の明記|date=2022-02-10|section=1}}
-[[sv:Poiseuilles lag]]
+この結果を、[[ダルシー・ワイスバッハの式]]：
+:<math>I_e = f\cdot \frac{1}{2a}\cdot\frac{\bar{u}}{2g}</math>
+:: <math>\bar{u} = \frac{Q}{\pi a^2}</math> ：平均流速
+に代入することで、[[摩擦損失係数]]''f'' と[[レイノルズ数]]：
+: <math>Re = \frac{\bar{u}\cdot 2a}{\nu}</math>
+の関係が次式で与えられる。
+:<math> f = \frac{64}{Re}</math>
+== 脚注 ==
+{{脚注ヘルプ}}
+=== 注釈 ===
+{{Reflist|group="注"}}
+=== 出典 ===
+{{Reflist|2}}
+== 参考文献 ==
+* {{Cite book|和書|author=禰津家久、冨永晃宏|year=2006|title=水理学|publisher=朝倉書店|id=ISBN 4-254-26139-X|ref=nt}}
+* {{Cite book|和書|author=日下部重幸、檀和幸、湯城豊勝|year=2003|title=水理学|publisher=コロナ社|id=ISBN 4-339-05507-7|ref=kdy}}
+== 関連項目 ==
+* [[オイラー方程式 (流体力学)]] - 粘性を仮定しないこの方程式からはハーゲン・ポアズイユ流れは誘導できない
+* [[ナビエ・ストークス方程式]] - ハーゲン・ポアズイユ流れはこの式から厳密に誘導される
+== 外部リンク ==
+* {{Kotobank|ポアズイユの流れ}}
+{{DEFAULTSORT:はあけんほあすいゆなかれ}}
+[[Category:流体力学の方程式]]
+[[Category:水理学]]
+[[Category:自然科学の法則]]
+[[Category:エポニム]]