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結合次数ポテンシャル（英: bond order potential）とは、分子動力学および分子静力学シミュレーションで使用される経験的な（解析的）原子間ポテンシャルの分類の一つ。例としてはTersoffポテンシャル^[1]、EDIPポテンシャル^[2]^[3]、Brennerポテンシャル^[4]、Finnis-Sinclairポテンシャル^[5]、ReaxFF^[6]、2次モーメント強束縛ポテンシャルがある^[7]。従来の分子力学法における力場より優れている点として、原子の異なる結合状態を同じパラメーターで表せることにより化学反応をある程度正確に記述できる場合がある。例に挙げたポテンシャルはそれぞれ独立に発展した部分もあるが、化学結合の強さが結合の環境（結合数、そしておそらく結合角や結合長など）に依存するというアイディアは共通である。結合次数ポテンシャルはライナス・ポーリングのいう結合次数の概念にもとづいており^[8]、以下のように書ける。

$V_{ij}(r_{ij})=V_{repulsive}(r_{ij})+b_{ijk}V_{attractive}(r_{ij})$

この式は問題のポテンシャルが二原子間距離 $r ij$ に依存する単純な二体ポテンシャルとして書けることを表している。ただし、結合の強さは項 $b ijk$ を通じて原子 $i$ の周りの環境から影響を受けている。別の表式として以下の形もある。

$V_{ij}(r_{ij})=V_{pair}(r_{ij})-D{\sqrt {\rho _{i}}}$

ここで $ρ i$ は原子 $i$ の位置における電子密度である。これら二つの表式は等価であることが示される^[9]。

2次モーメント強結合近似から結合次数の概念が得られることと、そこから上記の二つの関数形が導かれることは文献^[10]に詳しい。

結合次数ポテンシャルはオリジナルの形からさらに発展して、σ結合とπ結合についての結合次数を別々に扱うようになっている^[11]。

σ結合に関する結合次数の解析形を拡張して厳密な強束縛結合次数の4次モーメントを含めると、隣接原子間のσ結合に加えてπ結合の積分からの寄与も明らかになる。Si (100) 再構成表面において対称 (2x1) ダイマー構造よりも非対称ダイマー構造の方が安定なのは、σ結合次数に対するπ結合の寄与が原因である^[12]。

ReaxFF（英語版）ポテンシャルもまた結合次数ポテンシャルの一種と考えられるが、結合次数項の理論基盤は上述のものとは異なる。

脚注

^ Tersoff, J. (1988). “New empirical approach for the structure and energy of covalent systems”. Phys. Rev. B 37: 6991. Bibcode: 1988PhRvB..37.6991T. doi:10.1103/PhysRevB.37.6991.
^ Bazant, M. Z.; Kaxiras, E.; Justo, J. F. (1997). “Environment-dependent interatomic potential for bulk silicon”. Phys. Rev. B 56 (14): 8542. arXiv:cond-mat/9704137. Bibcode: 1997PhRvB..56.8542B. doi:10.1103/PhysRevB.56.8542.
^ Justo, J. F.; Bazant, M. Z.; Kaxiras, E.; Bulatov, V. V.; Yip, S. (1998). “Interatomic potential for silicon defects and disordered phases”. Phys. Rev. B 58: 2539. arXiv:cond-mat/9712058. Bibcode: 1998PhRvB..58.2539J. doi:10.1103/PhysRevB.58.2539.
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[Tersoff88-1] Tersoff, J. (1988). “New empirical approach for the structure and energy of covalent systems”. Phys. Rev. B 37: 6991. Bibcode: 1988PhRvB..37.6991T. doi:10.1103/PhysRevB.37.6991.

[2] Bazant, M. Z.; Kaxiras, E.; Justo, J. F. (1997). “Environment-dependent interatomic potential for bulk silicon”. Phys. Rev. B 56 (14): 8542. arXiv:cond-mat/9704137. Bibcode: 1997PhRvB..56.8542B. doi:10.1103/PhysRevB.56.8542.

[3] Justo, J. F.; Bazant, M. Z.; Kaxiras, E.; Bulatov, V. V.; Yip, S. (1998). “Interatomic potential for silicon defects and disordered phases”. Phys. Rev. B 58: 2539. arXiv:cond-mat/9712058. Bibcode: 1998PhRvB..58.2539J. doi:10.1103/PhysRevB.58.2539.

[4] Brenner, D. W. (1990). “Empirical potential for hydrocarbons for use in simulating the chemical vapor deposition of diamond films”. Phys. Rev. B 42 (15): 9458. Bibcode: 1990PhRvB..42.9458B. doi:10.1103/PhysRevB.42.9458.

[5] Finnis, M. W. (1984). “A simple empirical N-body potential for transition metals”. Philos. Mag. A 50 (1): 45. Bibcode: 1984PMagA..50...45F. doi:10.1080/01418618408244210.

[6] ReaxFF: A Reactive Force Field for Hydrocarbons, Adri C. T. van Duin, Siddharth Dasgupta, Francois Lorant, and William A. Goddard III, J. Phys. Chem. A, 2001, 105 (41), pp 9396–9409

[7] Cleri, F.; V. Rosato (1993). “Tight-binding potentials for transition metals and alloys”. Phys. Rev. B 48: 22. Bibcode: 1993PhRvB..48...22C. doi:10.1103/PhysRevB.48.22.

[8] Abell, G. C. (1985). “Empirical chemical pseudopotential theory of molecular and metallic bonding”. Phys. Rev. B 31: 6184. Bibcode: 1985PhRvB..31.6184A. doi:10.1103/PhysRevB.31.6184.

[9] Brenner, D. (1989). “Relationship between the embedded-atom method and Tersoff potentials”. Phys. Rev. Lett. 63: 1022. Bibcode: 1989PhRvL..63.1022B. doi:10.1103/PhysRevLett.63.1022. PMID 10041250.

[10] Albe, K.; K. Nordlund (2002). “Modeling the metal-semiconductor interaction: Analytical bond-order potential for platinum-carbon”. Phys. Rev. B 65: 195124. Bibcode: 2002PhRvB..65s5124A. doi:10.1103/physrevb.65.195124.

[11] Pettifor, D. G.; I. I. Oleinik (1999). “Analytic bond-order potentials beyond Tersoff-Brenner. I. Theory”. Phys. Rev. B 59: 8487. Bibcode: 1999PhRvB..59.8487P. doi:10.1103/PhysRevB.59.8487.

[Kuhlmann07-12] Kuhlmann, V.; K. Scheerschmidt (2007). “σ-bond expression for an analytic bond-order potential: Including π and on-site terms in the fourth moment”. Phys. Rev. B 76 (1): 014306. Bibcode: 2007PhRvB..76a4306K. doi:10.1103/PhysRevB.76.014306.

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-'''結合次数ポテンシャル'''（{{Lang-en-short|bond order potential}}）とは、[[分子動力学法|分子動力学]]および[[分子]]静力学シミュレーションで使用される経験的な（解析的）[[原子間ポテンシャル]]の分類の一つ。例としてはTersoffポテンシャル<ref name="Tersoff88">{{Cite journal|last=Tersoff|first=J.|author-link=|year=1988|title=New empirical approach for the structure and energy of covalent systems|url=|journal=Phys. Rev. B|volume=37|issue=|pages=6991|bibcode=1988PhRvB..37.6991T|DOI=10.1103/PhysRevB.37.6991}}</ref>、EDIPポテンシャル<ref>{{Cite journal|last=Bazant|first=M. Z.|last2=Kaxiras|first2=E.|last3=Justo|first3=J. F.|date=1997|title=Environment-dependent interatomic potential for bulk silicon|journal=Phys. Rev. B|volume=56|issue=14|page=8542|arxiv=cond-mat/9704137|bibcode=1997PhRvB..56.8542B|DOI=10.1103/PhysRevB.56.8542}}</ref><ref>{{Cite journal|last=Justo|first=J. F.|last2=Bazant|first2=M. Z.|last3=Kaxiras|first3=E.|last4=Bulatov|first4=V. V.|last5=Yip|first5=S.|date=1998|title=Interatomic potential for silicon defects and disordered phases|journal=Phys. Rev. B|volume=58|page=2539|arxiv=cond-mat/9712058|bibcode=1998PhRvB..58.2539J|DOI=10.1103/PhysRevB.58.2539}}</ref>、Brennerポテンシャル<ref>{{Cite journal|last=Brenner|first=D. W.|author-link=|year=1990|title=Empirical potential for hydrocarbons for use in simulating the chemical vapor deposition of diamond films|url=http://www.dtic.mil/get-tr-doc/pdf?AD=ADA230023|journal=Phys. Rev. B|volume=42|issue=15|pages=9458|bibcode=1990PhRvB..42.9458B|DOI=10.1103/PhysRevB.42.9458}}</ref>、Finnis-Sinclairポテンシャル<ref>{{Cite journal|last=Finnis|first=M. W.|author-link=|year=1984|title=A simple empirical N-body potential for transition metals|url=|journal=Philos. Mag. A|volume=50|issue=1|pages=45|bibcode=1984PMagA..50...45F|DOI=10.1080/01418618408244210}}</ref>、ReaxFF<ref>ReaxFF:  A Reactive Force Field for Hydrocarbons, Adri C. T. van Duin, Siddharth Dasgupta, Francois Lorant, and William A. Goddard III, J. Phys. Chem. A, 2001, 105 (41), pp 9396–9409</ref>、2次モーメント強束縛ポテンシャルがある<ref>{{Cite journal|last=Cleri|first=F.|author-link=|last2=V. Rosato|year=1993|title=Tight-binding potentials for transition metals and alloys|url=|journal=Phys. Rev. B|volume=48|issue=|pages=22|bibcode=1993PhRvB..48...22C|DOI=10.1103/PhysRevB.48.22}}</ref>。従来の[[分子力学法]]における[[力場 (化学)|力場]]より優れている点として、[[原子]]の異なる結合状態を同じパラメーターで表せることにより[[化学反応]]をある程度正確に記述できる場合がある。例に挙げたポテンシャルはそれぞれ独立に発展した部分もあるが、化学結合の強さが結合の環境（結合数、そしておそらく[[分子構造|結合角]]や[[結合長]]など）に依存するというアイディアは共通である。結合次数ポテンシャルは[[ライナス・ポーリング]]のいう[[結合次数]]の概念にもとづいており<ref>{{Cite journal|last=Abell|first=G. C.|author-link=|year=1985|title=Empirical chemical pseudopotential theory of molecular and metallic bonding|url=|journal=Phys. Rev. B|volume=31|issue=|pages=6184|bibcode=1985PhRvB..31.6184A|DOI=10.1103/PhysRevB.31.6184}}</ref>、以下のように書ける。
+'''結合次数ポテンシャル'''（{{Lang-en-short|bond order potential}}）とは、[[分子動力学法|分子動力学]]および[[分子]]静力学シミュレーションで使用される経験的な（解析的）[[原子間ポテンシャル]]の分類の一つ。例としてはTersoffポテンシャル<ref name="Tersoff88">{{Cite journal|last=Tersoff|first=J.|author-link=|year=1988|title=New empirical approach for the structure and energy of covalent systems|url=|journal=Phys. Rev. B|volume=37|issue=|pages=6991|bibcode=1988PhRvB..37.6991T|doi=10.1103/PhysRevB.37.6991}}</ref>、EDIPポテンシャル<ref>{{Cite journal|last=Bazant|first=M. Z.|last2=Kaxiras|first2=E.|last3=Justo|first3=J. F.|date=1997|title=Environment-dependent interatomic potential for bulk silicon|journal=Phys. Rev. B|volume=56|issue=14|page=8542|arxiv=cond-mat/9704137|bibcode=1997PhRvB..56.8542B|doi=10.1103/PhysRevB.56.8542}}</ref><ref>{{Cite journal|last=Justo|first=J. F.|last2=Bazant|first2=M. Z.|last3=Kaxiras|first3=E.|last4=Bulatov|first4=V. V.|last5=Yip|first5=S.|date=1998|title=Interatomic potential for silicon defects and disordered phases|journal=Phys. Rev. B|volume=58|page=2539|arxiv=cond-mat/9712058|bibcode=1998PhRvB..58.2539J|doi=10.1103/PhysRevB.58.2539}}</ref>、Brennerポテンシャル<ref>{{Cite journal|last=Brenner|first=D. W.|author-link=|year=1990|title=Empirical potential for hydrocarbons for use in simulating the chemical vapor deposition of diamond films|url=http://www.dtic.mil/get-tr-doc/pdf?AD=ADA230023|journal=Phys. Rev. B|volume=42|issue=15|pages=9458|bibcode=1990PhRvB..42.9458B|doi=10.1103/PhysRevB.42.9458}}</ref>、Finnis-Sinclairポテンシャル<ref>{{Cite journal|last=Finnis|first=M. W.|author-link=|year=1984|title=A simple empirical N-body potential for transition metals|url=|journal=Philos. Mag. A|volume=50|issue=1|pages=45|bibcode=1984PMagA..50...45F|doi=10.1080/01418618408244210}}</ref>、ReaxFF<ref>ReaxFF:  A Reactive Force Field for Hydrocarbons, Adri C. T. van Duin, Siddharth Dasgupta, Francois Lorant, and William A. Goddard III, J. Phys. Chem. A, 2001, 105 (41), pp 9396–9409</ref>、2次モーメント強束縛ポテンシャルがある<ref>{{Cite journal|last=Cleri|first=F.|author-link=|last2=V. Rosato|year=1993|title=Tight-binding potentials for transition metals and alloys|url=|journal=Phys. Rev. B|volume=48|issue=|pages=22|bibcode=1993PhRvB..48...22C|doi=10.1103/PhysRevB.48.22}}</ref>。従来の[[分子力学法]]における[[力場 (化学)|力場]]より優れている点として、[[原子]]の異なる結合状態を同じパラメーターで表せることにより[[化学反応]]をある程度正確に記述できる場合がある。例に挙げたポテンシャルはそれぞれ独立に発展した部分もあるが、化学結合の強さが結合の環境（結合数、そしておそらく[[分子構造|結合角]]や[[結合長]]など）に依存するというアイディアは共通である。結合次数ポテンシャルは[[ライナス・ポーリング]]のいう[[結合次数]]の概念にもとづいており<ref>{{Cite journal|last=Abell|first=G. C.|author-link=|year=1985|title=Empirical chemical pseudopotential theory of molecular and metallic bonding|url=|journal=Phys. Rev. B|volume=31|issue=|pages=6184|bibcode=1985PhRvB..31.6184A|doi=10.1103/PhysRevB.31.6184}}</ref>、以下のように書ける。
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-ここで {{Mvar|&rho;<sub>i</sub>}} は原子 {{Mvar|i}} の位置における{{仮リンク|電子密度|en|Electron density|label=}}である。これら二つの表式は等価であることが示される<ref>{{Cite journal|last=Brenner|first=D.|author-link=|year=1989|title=Relationship between the embedded-atom method and Tersoff potentials|url=|journal=Phys. Rev. Lett.|volume=63|issue=|pages=1022|bibcode=1989PhRvL..63.1022B|DOI=10.1103/PhysRevLett.63.1022|PMID=10041250}}</ref>。
+ここで {{Mvar|&rho;<sub>i</sub>}} は原子 {{Mvar|i}} の位置における{{仮リンク|電子密度|en|Electron density|label=}}である。これら二つの表式は等価であることが示される<ref>{{Cite journal|last=Brenner|first=D.|author-link=|year=1989|title=Relationship between the embedded-atom method and Tersoff potentials|url=|journal=Phys. Rev. Lett.|volume=63|issue=|pages=1022|bibcode=1989PhRvL..63.1022B|doi=10.1103/PhysRevLett.63.1022|pmid=10041250}}</ref>。
-次モーメント強結合近似から結合次数の概念が得られることと、そこから上記の二つの関数形が導かれることは文献<ref>{{Cite journal|last=Albe|first=K.|author-link=|last2=K. Nordlund|year=2002|title=Modeling the metal-semiconductor interaction: Analytical bond-order potential for platinum-carbon|journal=Phys. Rev. B|volume=65|issue=|pages=195124|bibcode=2002PhRvB..65s5124A|DOI=10.1103/physrevb.65.195124}}</ref>に詳しい。
+次モーメント強結合近似から結合次数の概念が得られることと、そこから上記の二つの関数形が導かれることは文献<ref>{{Cite journal|last=Albe|first=K.|author-link=|last2=K. Nordlund|year=2002|title=Modeling the metal-semiconductor interaction: Analytical bond-order potential for platinum-carbon|journal=Phys. Rev. B|volume=65|issue=|pages=195124|bibcode=2002PhRvB..65s5124A|doi=10.1103/physrevb.65.195124}}</ref>に詳しい。
-結合次数ポテンシャルはオリジナルの形からさらに発展して、[[Σ結合|&sigma;結合]]と[[Π結合|&pi;結合]]についての結合次数を別々に扱うようになっている<ref>{{Cite journal|last=Pettifor|first=D. G.|author-link=|last2=I. I. Oleinik|year=1999|title=Analytic bond-order potentials beyond Tersoff-Brenner. I. Theory|url=|journal=Phys. Rev. B|volume=59|issue=|pages=8487|bibcode=1999PhRvB..59.8487P|DOI=10.1103/PhysRevB.59.8487}}</ref>。
+結合次数ポテンシャルはオリジナルの形からさらに発展して、[[Σ結合|&sigma;結合]]と[[Π結合|&pi;結合]]についての結合次数を別々に扱うようになっている<ref>{{Cite journal|last=Pettifor|first=D. G.|author-link=|last2=I. I. Oleinik|year=1999|title=Analytic bond-order potentials beyond Tersoff-Brenner. I. Theory|url=|journal=Phys. Rev. B|volume=59|issue=|pages=8487|bibcode=1999PhRvB..59.8487P|doi=10.1103/PhysRevB.59.8487}}</ref>。
-[[Σ結合|&sigma;結合]]に関する結合次数の解析形を拡張して厳密な強束縛結合次数の4次モーメントを含めると、隣接原子間の&sigma;結合に加えて&pi;結合の積分からの寄与も明らかになる。[[シリコン|Si]] (100) [[表面再構成|再構成表面]]において対称 (2x1) ダイマー構造よりも非対称ダイマー構造の方が安定なのは、&sigma;結合次数に対する&pi;結合の寄与が原因である<ref name="Kuhlmann07">{{Cite journal|last=Kuhlmann|first=V.|author-link=|last2=K. Scheerschmidt|year=2007|title=σ-bond expression for an analytic bond-order potential: Including π and on-site terms in the fourth moment|url=|journal=Phys. Rev. B|volume=76|issue=1|pages=014306|bibcode=2007PhRvB..76a4306K|DOI=10.1103/PhysRevB.76.014306}}</ref>。
+[[Σ結合|&sigma;結合]]に関する結合次数の解析形を拡張して厳密な強束縛結合次数の4次モーメントを含めると、隣接原子間の&sigma;結合に加えて&pi;結合の積分からの寄与も明らかになる。[[シリコン|Si]] (100) [[表面再構成|再構成表面]]において対称 (2x1) ダイマー構造よりも非対称ダイマー構造の方が安定なのは、&sigma;結合次数に対する&pi;結合の寄与が原因である<ref name="Kuhlmann07">{{Cite journal|last=Kuhlmann|first=V.|author-link=|last2=K. Scheerschmidt|year=2007|title=σ-bond expression for an analytic bond-order potential: Including π and on-site terms in the fourth moment|url=|journal=Phys. Rev. B|volume=76|issue=1|pages=014306|bibcode=2007PhRvB..76a4306K|doi=10.1103/PhysRevB.76.014306}}</ref>。
 {{仮リンク|ReaxFF|en|ReaxFF|label=}}ポテンシャルもまた結合次数ポテンシャルの一種と考えられるが、結合次数項の理論基盤は上述のものとは異なる。