ノート:公理的集合論

新参者なのですが、導入部分の「パラドックスを取り除く過程で生まれた」という記述に異論があります。G. ムーアの「Zermelo's Axiom of Choice」を読むと、ツェルメロはパラドックスの回避よりも実数が整列可能だという彼が1904年に発表した定理を正当化することをより強く考えていたようです。集合論を公理化することの必要性は、素朴集合論のパラドックスが出てくる前にBurali-Fortiによって指摘されているともあります。「公理的集合論とは、数学の一分野であり、公理化され素朴集合論よりはっきりとした基礎を持った集合論である。」などとした方がよいかと思われます。 それと、合併の公理の説明の後半は明らかに誤りで、「Aの元の元を全て元に持つような集合が存在する」ですね。 とりあえずは以上です。--Tishiu 02:05 2004年5月23日 (UTC)

上に書いたことをとりあえず自分で編集しました。それと、現在の集合論において、選択公理を仮定しないのは妥当性に疑問を持っているからではなく、それが有効なモデルであるという理由からの場合の方が多いと思われますので、そのように書き直しました。Tishiu 2004年7月2日 (金) 00:15 (UTC)

改訂お疲れさまです。良くなったと思います。知っている方がどんどん書き換えてゆくのが良いと思います。

パラドックスの回避については、それが理論構築の目的であったかどうかはともかく、結果として言及されることが多いので、百科事典の記述としては盛り込んで欲しいところだなと思います。 - Kk 2004年7月2日 (金) 01:11 (UTC) # 私もよくノートに書き込むのですが反応がないとさびしい思いをしますので、何かコメントしたいなと思って出てきました。数学関係でよくコメントをくれたあの方、最近お見かけしませんねぇ...

Kkさんコメントありがとうございました。ご希望に応えてというわけでもないのですが、パラドックスの回避を書いてみました。Tishiu 2004年7月3日 (土) 06:42 (UTC)

ZF系以外の公理的集合論の扱いは、どうしましょう？　念頭においているのは、BG系とNF系ですが。Wd 2005年1月14日 (金) 19:21 (UTC)

対の公理の記述で、x,yを集合としているのはそれでよいのでしょうか？--Takashi（会話） 2012年6月23日 (土) 03:47 (UTC)

はい、それでよいです。たとえばen:Axiom of pairingなどもそのように記述していますね。なぜならば、「集合論での考察対象はすべて集合だから、以下の公理群での$\forall x(\cdots )$または、$\exists x(\cdots )$という形の論理式は、'すべての集合xに対し…'または、'…を満たす集合xが存在する'と読み下されるべきで、パラメータとして現れるa,b,cなども、ある集合を表していると考える」（岩波数学辞典第4版「公理的集合論」より引用）ためです。--211.1.206.228 2012年6月24日 (日) 09:28 (UTC)

ZF分割提案

公理的集合論には現役でもZF,ZFC,NBG,MK,NFなど、他にも歴史的に淘汰されてきたもの(数学史的に価値がある)も含めればさらにたくさんの体系があります。ですから各論の具体的な公理体系や歴史は各論のページを作る方が適していると考えての提案です。

こちらのページはそれらの紹介と大雑把な比較、それぞれの体系化の心、公理の独立性と強制法の深入りしない紹介、集合論的パラドックス、他の基礎論記事との関連強化などを主軸とした、hubの様な役割にするべきかと思います。 --Malca-ite-chon'e（会話） 2021年4月23日 (金) 02:26 (UTC)

記事嵩はだいぶ減りますが、Formalized set theory節の翻訳だけでも現在より遥かに広い視野を読者に提供できるので、まずはそこから行えば体裁は整うでしょう。--Malca-ite-chon'e（会話） 2021年4月23日 (金) 02:34 (UTC)

今は公理的集合論の記述の量がとても少ないので、 ZF や ZFC や NBG などの記述を公理的集合論の中で節を分けて書いていくことから始めた方が、私はよいと思います。その結果として、ゆくゆくは分割できればよいと思います。--Hexirp（会話） 2021年4月23日 (金) 03:13 (UTC)

ですが現在のZFの記述量に則してしまうと順序集合や位相空間論のように、やたらめったら記述が多くて、一見するとあえて分割しないでもよさそうでいて、その実、別のページから各概念に個別にリンクを貼る場合にその概念が必ずしも見出しになっておらず、また詳述しきれてもいず、瑕疵が散見されて結果的に手が回らない…といったことになりかねません。記述量激減防止のためにまず前述の英語版の節を翻訳します。NBGについては準備があるので直ぐにページを投稿いたします。あとは放っておいても記事は成長するはずです(本質的にそのくらい豊かな内容なのです)。現在成長が止まっているのが、むしろZFに偏り過ぎたゆえに起きた現象ではないでしょうか。--Malca-ite-chon'e（会話） 2021年4月23日 (金) 03:30 (UTC)

まずは Formalized set theory を翻訳して公理的集合論に追加してから公理的集合論を分割するというのが、まさに私が考えていたことです。このことを追記しようかなと思っておりましたが、その必要がないようで嬉しいです。分割が上手く行かない点についてはなかなか難しいですね。ノートに他の編集者のためのメモを残すとか、 #REDIRECT [[公理的集合論#ZFC]] を利用するとか、そういうのが対策として考えられますが、どのくらい上手く行くかは分かりません。--Hexirp（会話） 2021年4月23日 (金) 05:29 (UTC)