四重積 (ベクトル解析)

四重積とは3次元ユークリッド空間における4つのベクトルの積であり、ベクトル解析におけるスカラー四重積とベクトル四重積の総称である。

スカラー四重積

スカラー四重積は2つのクロス積のドット積である。

$({\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {b}})\cdot ({\boldsymbol {c}}\times {\boldsymbol {d}})$

ここで a, b, c, d は3次元ユークリッド空間のベクトルである。

幾何学的には a, b で張られた面積ベクトルと c, d で張られた面積ベクトルの重なり具合(射影)を表す。

以下の式 (ビネ・コーシーの恒等式)

${\begin{aligned}({\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {b}})\cdot ({\boldsymbol {c}}\times {\boldsymbol {d}})&=({\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {c}})({\boldsymbol {b}}\cdot {\boldsymbol {d}})-({\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {d}})({\boldsymbol {b}}\cdot {\boldsymbol {c}})\\&=\det {\begin{pmatrix}{\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {c}}&{\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {d}}\\{\boldsymbol {b}}\cdot {\boldsymbol {c}}&{\boldsymbol {b}}\cdot {\boldsymbol {d}}\end{pmatrix}}\end{aligned}}$

が成り立つ。

証明

スカラー三重積の公式およびベクトル三重積の公式を使えば

${\begin{aligned}({\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {b}})\cdot ({\boldsymbol {c}}\times {\boldsymbol {d}})&=(({\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {b}})\times {\boldsymbol {c}})\cdot {\boldsymbol {d}}\\&=(({\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {c}}){\boldsymbol {b}}-({\boldsymbol {b}}\cdot {\boldsymbol {c}}){\boldsymbol {a}})\cdot {\boldsymbol {d}}\\&=({\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {c}})({\boldsymbol {b}}\cdot {\boldsymbol {d}})-({\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {d}})({\boldsymbol {b}}\cdot {\boldsymbol {c}})\end{aligned}}$

と導ける。

あるいは線形代数学におけるビネ・コーシーの恒等式

$\sum _{1\leq i<j\leq n}(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i})(c_{i}d_{j}-c_{j}d_{i})=\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}c_{i}\right)\left(\sum _{j=1}^{n}b_{j}d_{j}\right)-\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}d_{i}\right)\left(\sum _{j=1}^{n}b_{j}c_{j}\right)$

を既知とすれば、n=3の特別な場合として、上記の式が得られる。

また、特別な場合である

$\|{\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {b}}\|^{2}=\|{\boldsymbol {a}}\|^{2}\|{\boldsymbol {b}}\|^{2}-({\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {b}})^{2}$

も有用な公式でラグランジュの恒等式と呼ばれる。

ベクトル四重積

ベクトル四重積は2つのクロス積のクロス積である。

$({\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {b}})\times ({\boldsymbol {c}}\times {\boldsymbol {d}})$

ここで a, b, c, d は3次元ユークリッド空間のベクトルである。

幾何学的には a, b で張られた面と c, d で張られた面の交線に平行なベクトルを表す。

ベクトル三重積の公式を使えば

${\begin{aligned}({\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {b}})\times ({\boldsymbol {c}}\times {\boldsymbol {d}})&=[{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}},{\boldsymbol {d}}]{\boldsymbol {c}}-[{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}},{\boldsymbol {c}}]{\boldsymbol {d}}\\&=[{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {c}},{\boldsymbol {d}}]{\boldsymbol {b}}-[{\boldsymbol {b}},{\boldsymbol {c}},{\boldsymbol {d}}]{\boldsymbol {a}}\\\end{aligned}}$

が得られる。ただし [a, b, c] = a・(b×c) である。

2つの異なる右辺が導かれるのは左辺を X×(c×d) とみて展開したか (a×b)×Y とみて展開したかで異なるからである。幾何学的には、交線はそれぞれの平面に含まれるので、点を表すパラメータ表示が2通りあることを意味する。

2つの右辺が等しいことより恒等式

$[{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}},{\boldsymbol {c}}]{\boldsymbol {r}}=[{\boldsymbol {r}},{\boldsymbol {b}},{\boldsymbol {c}}]{\boldsymbol {a}}+[{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {r}},{\boldsymbol {c}}]{\boldsymbol {b}}+[{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}},{\boldsymbol {r}}]{\boldsymbol {c}}$

が得られる。

これは [a, b, c]≠0 の場合、基底 {a, b, c} (正規直交基底とは限らない)における r の成分表示が

$\left({[{\boldsymbol {r}},{\boldsymbol {b}},{\boldsymbol {c}}] \over [{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}},{\boldsymbol {c}}]},{[{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {r}},{\boldsymbol {c}}] \over [{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}},{\boldsymbol {c}}]},{[{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}},{\boldsymbol {r}}] \over [{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}},{\boldsymbol {c}}]}\right)$

であること示す。

あるいは、(a b c)を縦ベクトルを並べてできる3×3行列としたときの連立方程式

$({\boldsymbol {a}}~{\boldsymbol {b}}~{\boldsymbol {c}}){\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\boldsymbol {r}}$

に対するクラメルの公式

${\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={1 \over \det({\boldsymbol {a}}~{\boldsymbol {b}}~{\boldsymbol {c}})}{\begin{pmatrix}\det({\boldsymbol {r}}~{\boldsymbol {b}}~{\boldsymbol {c}})\\\det({\boldsymbol {a}}~{\boldsymbol {r}}~{\boldsymbol {c}})\\\det({\boldsymbol {a}}~{\boldsymbol {b}}~{\boldsymbol {r}})\end{pmatrix}}$

と同じである。

なお、

$({\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {b}})\times ({\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {c}})=[{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}},{\boldsymbol {c}}]{\boldsymbol {a}}$

が先の公式の特別な場合として導かれるが、この等式は以下のように導くこともできる。

a と b で作られる平面と、 a と c で作られる平面との交線は a に平行であることは自明である。また、a と b と c が一次従属 ([a, b, c ]=0) すなわち共面であるとき、2つの平面は平行なので左辺は0になる。このことから、右辺は [a, b, c ]a の定数倍であることが導かれる。右手系の正規直交基底を代入することで比例定数が1であることがわかるので、等式が得られる。

参考文献

• Gibbs, Josiah Willard; Wilson, Edwin Bidwell (1901). Vector analysis: a text-book for the use of students of mathematics. Scribner. http://www.archive.org/details/vectoranalysiste00gibbiala 
• 丸山祐一、喜多義範『理工系 ベクトル解析』共立出版、2003年。ISBN 4320017439。 
• 小野寺嘉孝『なっとくするベクトル』講談社、2001年。ISBN 4061545337。 
• 北野正雄『マクスウェル方程式―電磁気学のよりよい理解のために』サイエンス社、2009年。ISBN 4781912222。 

関連項目

• 三重積 (ベクトル解析)
• ビネ・コーシーの恒等式
• ラグランジュの恒等式