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半負定値 M が半負定値 (negative-semidefinite) または非正定値 (nonpositive-definite) であるとは、Cn の（実の場合は Rn の）任意の非零ベクトル z に対して z∗ Mz ≤ 0 が成り立つときに言う。 不定値 正定値、負定値、半正定値、半…

半正多面体 (はんせいためんたい、semi-regular polyhedron) またはアルキメデスの立体 (Archimedean solid) とは、凸な一様多面体のうち、正多面体以外のものである。また、対称性が低い (Dihedral) 角柱・反角柱・ミラーの立体も除く。全部で13種類ある。…

二次形式も、至る所「正」および「負」としていたところを、至る所「負でない」および「正でない」に置き換えて、それぞれ半正定値（positive semi-definite; 正半定値）と半負定値（negative semi-definite; 負半定値）と定義される。正の値も負の値も取るような二次形式は不定符号…

以下では、対称行列（あるいはエルミート行列）に限定した行列の平方根についての性質を示す。 「正定値行列」とは、対称行列（あるいはエルミート行列）で、その全ての固有値が正の実数であるものをいう。「半正定値行列」とは、対称行列（あるいはエルミート行列）で、その全ての固有値がゼロまたは正の実数であるものをいう。…

正六角形、正八角形、正十角形の中では、最大1種類しか使われない。また、正 2n 角形（n ≥ 3）が使われているときは、正 n 角形も使われている。これらの性質は、半正多面体では成り立たない。 対称性はCyclicかDihedralである。これらは、正多面体や半正多面体の…

の正角柱またはアルキメデスの角柱 (Archimedean prism) という。特にアルキメデスの正角柱だけに限って正角柱という場合もある。 アルキメデスの正角柱は、半正多面体の条件を満たすが、正多角形が厚みを持ったものなので無限個あり、2次元の対称性しか持たないため、通常は半正…

カタランの立体 (Catalan solid) は、半正多面体（アルキメデスの立体）の双対である。アルキメデス双対 (Archimedean dual) とも言う。半正多面体が13種類あるため、カタランの立体も13種類ある。 カタランとは、ベルギーの数学者ウジェーヌ・カタラン (Eugène Charles…

普通は、正多面体と同じ対称性を持っていないため半正多面体には含めないが、半正多面体の性質（全ての頂点の形状が同じ）も持っているので含めることもある（半正多面体の定義に「頂点推移的である」ことを求める場合、ミラーの立体はこの性質を持たないため半正多面体とはしない）。 ミラーの立体の双対は、斜方立方八面体の双対である凧形二十四面体の…

半正多面体の双対のことをアルキメデス双対またはカタランの立体という。アルキメデス双対は、半正多面体の各面の中心を結んだ立体ではなく、そのアルキメデス双対の面の中心を結ぶと元の半正多面体になる立体である。また、全ての面が合同で、全ての二面角が同じという性質も持つ。このうち切頂n面体の双対は、もとの正…

正定値エルミート行列の任意の非エルミート平方根は、ユニタリ行列を掛ける分の不定性を持つが、これは正実数の場合に、（正値の主平方根が一意に決まること、および）主平方根に ±1 を掛けたものがその平方根のすべてであることと対応している。 このような半正定値行列の平方根の計算および一意性の…

(polyhedra) である。多角形のポリゴン (polygon) の複数形がポリゴンズ (polygons) であるのとは異なる。また、類似しているものとして、正多面体や半正多面体などがある。 穴の開いていない多面体、すなわち球面に同相な多面体については、頂点、辺、面の数 v, e, f について v…

icosidodecahedron）とは、半正多面体の一種であり、正十二面体の面をねじり、間に正三角形を入れたような立体である。キラルであり、ねじる方向により違いが現れる。正二十面体の面をねじる事によっても同じ図形を作ることができる。 表面積: 1辺の長さをaとすると、 ( 20 3 + 3 25…

一様多面体（いちようためんたい）とは、全ての構成面が正多角形で、かつ頂点の形状が全て合同な立体のことである。5種類の正多面体、4種類の星型正多面体、13種類の半正多面体、その他の53種類の一様多面体で総計75種類であることが、H.S.M.コクセターらによって確認され、後にJ.スキリングによって証明された。正角柱、反角柱、ミラーの…

半正多胞体（はんせいたほうたい、英: semiregular polytope）とは、構成n次元面が全て(n-1)次元正多胞体または(n-1)次元半正多胞体で、全ての頂点の形状が合同である多胞体である。 3次元の半正多胞体は全部で13種類ある。詳しくは半正多面体を参照。 4次元の半正…

（3次元ユークリッド）空間充填形 ルーローの多面体 ルーローの四面体 可展トーラス クラインの壺 （4次元）超球面 （4次元）多胞体 （4次元）正多胞体 正五胞体、正八胞体（四次元超立方体）、正十六胞体、正二十四胞体、正百二十胞体、正六百胞体 4次元半正多胞体…

polyhedron）は、多面体のうち、全ての辺（稜）における二面角（2つの面で作られる角度）が180°未満であり、かつ自己交差を持たないもの。この条件を満たすためには、全ての面が凸多角形（全ての頂点における内角が180°未満、かつ自己交差を持たない多角形）である必要がある。 正多面体や半正多面体などはこれに含まれるが、星型正多面体は含まれない。…

エルミート行列 A の固有値が全て正の場合に、その行列 A は正定値であるという（正定値行列）。 エルミート行列 A の固有値が全て非負の場合に、その行列 A は半正定値であるという（半正定値行列）。 この定義は対角化を用いることにより、二次形式の正定値、半正定値の定義と同値の関係であることが確認できる。…

のものをアルキメデスの反角柱 (Archimedean antiprism) という。特にアルキメデスの反角柱だけに限って反角柱という場合もある。 アルキメデスの反角柱は、半正多面体の条件を満たすが、正多角形が厚みを持ったものなので無限個あり、通常は半正多面体には含まない。アルキメデスの反角柱の…

正の相関）または点線（負の相関）で表されている。 一部の応用(例えば、部分的に観測されたデータだけでデータモデルを構築する)において、相関を近似的に表す行列からそれに最も近い相関行列（例えば、計算方法が原因で通常は半正値の条件を満たさない行列）を見つけたい人もいる。…

{31+12{\sqrt {5}}}}} ゾーン多面体の一種でもある。 半正多面体の中で最大の辺の数と頂点の数を持つ（面の数での最大は変形十二面体となっている） 二十面切頂十二・十二面体 切頂十二・十二面体 大切頂二十・十二面体 二十・十二面体 （ベースの形） 斜方二十・十二面体 （切り込みを深くする）…