一様多面体

一様多面体（いちようためんたい）とは、全ての構成面が正多角形で、かつ頂点の形状が全て合同な立体のことである。5種類の正多面体、4種類の星型正多面体、13種類の半正多面体、その他の53種類の一様多面体で総計75種類であることが、H.S.M.コクセターらによって確認され、後にJ.スキリングによって証明された。正角柱、反角柱、ミラーの立体などもこの条件を満たすが、一様多面体には含めないことが多い。

一様多面体の一覧

正多面体

画像	名前	ワイソフ記号	頂点形状
	正四面体	3 | 2 3	3, 3, 3
	正六面体	3 | 2 4	4, 4, 4
	正八面体	4 | 2 3	3, 3, 3, 3
	正十二面体	3 | 2 5	5, 5, 5
	正二十面体	5 | 2 3	3, 3, 3, 3, 3

半正多面体

画像	名前	ワイソフ記号	頂点形状
	切頂四面体	2 3 | 3	3, 6, 6
	切頂六面体	2 3 | 4	3, 8, 8
	切頂八面体	2 4 | 3	4, 6, 6
	切頂十二面体	2 3 | 5	3, 10, 10
	切頂二十面体	2 5 | 3	5, 6, 6
	立方八面体	2 | 3 4	3, 4, 3, 4
	二十・十二面体	2 | 3 5	3, 5, 3, 5
	斜方立方八面体	3 4 | 2	3, 4, 4, 4
	斜方二十・十二面体	3 5 | 2	3, 4, 5, 4
	斜方切頂立方八面体	2 3 4 |	4, 6, 8
	斜方切頂二十・十二面体	2 3 5 |	4, 6, 10
	変形立方体	| 2 3 4	3, 3, 3, 3, 4
	変形十二面体	| 2 3 5	3, 3, 3, 3, 5

星型正多面体

画像	名前	ワイソフ記号	頂点形状
	小星型十二面体	5 | 2 5/2	(5/2)5
	大十二面体	5/2 | 2 5	(5,5,5,5,5)/2
	大星型十二面体	3 | 2 5/2	(5/2)3
	大二十面体	5/2 | 2 3	(3,3,3,3,3)/2

その他の一様多面体

画像	名前	ワイソフ記号	頂点形状
	八面半八面体	3/2 3 | 3	6, 3/2, 6, 3
	四面半六面体	3/2 3 | 2	4, 3/2, 4, 3
	小立方立方八面体	3/2 4 | 4	8, 3/2, 8, 4
	大立方立方八面体	3 4 | 4/3	8/3, 3, 8/3, 4
	立方半八面体	4/3 4 | 3	6, 4/3, 6, 4
	立方切頂立方八面体 (立方八面切頂立方八面体)	4/3 3 4 |	8/3, 6, 8
	一様大斜方立方八面体 (擬斜方立方八面体)	3/2 4 | 2	4, 3/2, 4, 4
	小斜方六面体	2 4 (3/2 4/2) |	4, 8, 4/3, 8
	星型切頂六面体 (擬切頂六面体)	2 3 | 4/3	8/3, 8/3, 3
	大切頂立方八面体 (擬切頂立方八面体)	4/3 2 3 |	8/3, 4, 6
	大斜方六面体	2 4/3 (3/2 4/2) |	4, 8/3, 4/3, 8/5
	小二重三角二十・十二面体	3 | 5/2 3	(5/2, 3)3
	小二十・二十・十二面体	5/2 3 | 3	6, 5/2, 6, 3
	小変形二十・二十・十二面体	| 5/2 3 3	35, 5/2
	小十二・二十・十二面体	3/2 5 | 5	10, 3/2, 10, 5
	十二・十二面体	2 | 5/2 5	(5/2, 5)2
	切頂大十二面体	2 5/2 | 5	10, 10, 5/2
	斜方十二・十二面体	5/2 5 | 2	4, 5/2, 4, 5
	小斜方十二面体	2 5 (3/2 5/2) |	10, 4, 10/9, 4/3
	変形十二・十二面体	| 2 5/2 5	3, 3, 5/2, 3, 5
	二重三角十二・十二面体 (二重三角十二面体)	3 | 5/3 5	(5/3, 5)3
	大二重三角十二・二十・十二面体	3 5 | 5/3	10/3, 3, 10/3, 5
	小二重三角十二・二十・十二面体	5/3 3 | 5	10, 5/3, 10, 3
	二十・十二・十二面体	5/3 5 | 3	6, 5/3, 6, 5
	二十面切頂十二・十二面体 (二十・十二面切頂二十・十二面体)	5/3 3 5 |	10/3, 6, 10
	変形二十・十二・十二面体	| 5/3 3 5	3, 3, 3, 5/3, 3 , 5
	大二重三角二十・十二面体	3/2 | 3 5	(5, 3, 5, 3, 5, 3)/2
	大二十・二十・十二面体	3/2 5 | 3	6, 3/2, 6, 5
	小二十面半十二面体	3/2 3 | 5	10, 3/2, 10, 3
	小十二・二十面体	3 5 (3/2 5/4) |	10, 6, 10/9, 6/5
	小十二面半十二面体	5/4 5 | 5	10, 5/4, 10, 5
	大二十・十二面体	2 | 5/2 3	(5/2, 3)2
	切頂大二十面体	2 5/2 | 3	6, 6, 5/2
	斜方二十面体	2 3 (5/4 5/2) |	6, 4, 6/5, 4/3
	大変形二十・十二面体	| 2 5/2 3	34, 5/2
	小星型切頂十二面体 (擬切頂小星型十二面体)	2 5 | 5/3	10/3, 10/3, 5
	切頂十二・十二面体 (擬切頂十二・十二面体)	5/3 2 5 |	10/3, 4, 10
	逆変形十二・十二面体	| 5/3 2 5	3, 5/3, 3, 3, 5
	大十二・二十・十二面体	5/2 3 | 5/3	10/3, 5/2, 10/3, 3
	小十二面半二十面体	5/3 5/2 | 3	6, 5/3, 6, 5/2
	大十二・二十面体	3 5/3 (3/2 5/2) |	6, 10/3, 6/5, 10/7
	大変形十二・二十・十二面体	| 5/3 5/2 3	33, 5/3, 3, 5/2
	大十二面半二十面体	5/4 5 | 3	6, 5/4, 6, 5
	大星型切頂十二面体 (擬切頂大星型十二面体)	2 3 | 5/3	10/3, 10/3, 3
	一様大斜方二十・十二面体 (擬斜方二十・十二面体)	5/3 3 | 2	4, 5/3, 4, 3
	大切頂二十・十二面体 (大擬切頂二十・十二面体)	5/3 2 3 |	10/3, 4, 6
	大逆変形二十・十二面体	| 5/3 2 3	34, 5/3
	大十二面半十二面体	5/3 5/2 | 5/3	10/3, 5/3, 10/3, 5/2
	大二十面半十二面体	3/2 3 | 5/3	10/3, 3/2, 10/3, 3
	小反屈変形二十・二十・十二面体 (小逆反屈変形二十・二十・十二面体)	| 3/2 3/2 5/2	(35, 5/3)/2
	大斜方十二面体	2 5/3 (3/2 5/4) |	4, 10/3, 4/3, 10/7
	大反屈変形二十・十二面体 (大逆反屈変形二十・十二面体)	| 3/2 5/3 2	(34, 5/2)/2
	大二重斜方二十・十二面体	| 3/2 5/3 3 5/2	(4, 5/3, 4, 3, 4, 5/2, 4, 3/2)/2

条件は満たすが一様多面体に含まない多面体

以下は頂点形状が合同であるが、頂点に関する推移性を満たさないため、通常は一様多面体とみなさない。

• ミラーの立体 (擬斜方立方八面体)
• 擬大斜方立方八面体

  一様大斜方立方八面体の上半分を、斜方立方八面体からミラーの立体を作るときのように45度ひねった立体

以下の5つは無限系列として一様多面体に含めることがある（英語版Wikipediaではこの立場を取っている）。

• 正角柱
• 星型正多角柱
• 反角柱
• 星型反角柱
• 星型交差反角柱

関連項目

• 多面体
• ワイソフ記号
• 双対多面体
• 複合体
• 星型多面体
• 対称性
• 大二重変形二重斜方十二面体