ガウスの微分方程式

ガウスの微分方程式（ガウスのびぶんほうていしき）あるいは超幾何微分方程式（ちょうきかびぶんほうていしき）とはガウスにその名をちなむ、以下の形をした常微分方程式である。

$\displaystyle x(1-x)y''+(\gamma -(\alpha +\beta +1)x)y'-\alpha \beta y=0$

ここで α, β, γ は複素定数である。

性質

特異点と厳密解

この微分方程式は $\displaystyle x=0,1,\infty$ において確定特異点を持ち、 それ以外に特異点を持たない。 また各特異点での解はガウスの超幾何関数 $\displaystyle F(\alpha ,\beta ,\gamma ;x)$ を使って以下の様に表せる事が知られている。

x = 0 での解

$\displaystyle y_{1,0}(x)=F(\alpha ,\beta ,\gamma ;x)$

$\displaystyle y_{2,0}(x)=x^{1-\gamma }F(\alpha -\gamma +1,\beta -\gamma +1,2-\gamma ;x)$

x = 1 での解

$\displaystyle y_{1,1}(x)=F(\alpha ,\beta ,\alpha +\beta -\gamma +1;1-x)$

$\displaystyle y_{2,1}(x)=(1-x)^{\gamma -\alpha -\beta }F(\gamma -\alpha ,\gamma -\beta ,\gamma -\alpha -\beta +1;1-x)$

x = ∞ での解

$\displaystyle y_{1,\infty }(x)=x^{-\alpha }F(\alpha ,\alpha +1-\gamma ,\alpha -\beta +1;1/x)$

$\displaystyle y_{2,\infty }(x)=x^{-\beta }F(\beta ,\beta +1-\gamma ,\beta -\alpha +1;1/x)$

変数変換でガウスの微分方程式に帰着する方程式

3点を確定特異点にもつフックス型微分方程式は変数変換でガウスの微分方程式に帰着する。

参考文献

• 木村弘信『超幾何関数入門　特殊関数への統一的視点からのアプローチ』サイエンス社〈臨時別冊・数理科学 SGCライブラリ 55〉、2007年5月。ISSN 03868257。 
• 時弘哲治『工学における特殊関数』共立出版〈工系数学講座 13〉、2006年6月。ISBN 978-4-320-01612-5。 
• 原岡喜重『超幾何関数』朝倉書店〈すうがくの風景 7〉、2002年10月。ISBN 978-4-254-11557-4。 

関連項目

• フロベニウスの方法

一般化

• パンルヴェ方程式
• 複素微分方程式
• フックス型微分方程式
• ホイン函数#ホインの方程式

退化・変形

• ルジャンドルの微分方程式

外部リンク

• Weisstein, Eric W. "Hypergeometric Function". mathworld.wolfram.com (英語).