逆温度

逆温度 thermodynamic beta, inverse temperature
量記号	β
次元	L −2 M −1 T 2
SI単位	毎ジュール (J−1)
CGS単位	毎エルグ (erg−1)

逆温度（ぎゃくおんど、英語: inverse temperature） は、統計力学において定義される物理量。統計集団を用いて平衡状態を記述する際、パラメーターとして現れる。逆温度βは絶対温度Tとボルツマン定数k_Bを用いて次のように定義される。

$\beta ={\frac {1}{k_{\rm {B}}T}}$

統計力学における定義

統計力学では、逆温度βは接触した二つの系の平衡状態を考えることで定義される。

熱的に接触した二つの系1と2を考え、それぞれのエネルギーをE₁、E₂とする。E₁とE₂の和を一定であるとしてEとおく。それぞれの系の状態数をΩ₁、Ω₂とすると、状態数Ω_iはエネルギー E_i を含む関数であるので、二つの結合した系の状態数は次のように表せる。

$\Omega (E_{1}+E_{2})=\Omega _{1}(E_{1})\Omega _{2}(E_{2})=\Omega _{1}(E_{1})\Omega _{2}(E-E_{1})\,$

ここで、平衡状態に達した系の状態数は停留値をとると仮定すると、平衡状態において上式の両辺をE₁で微分して、

${\frac {\partial }{\partial E_{1}}}\Omega (E_{1}+E_{2})=\Omega _{2}(E_{2}){\frac {\partial }{\partial E_{1}}}\Omega _{1}(E_{1})+\Omega _{1}(E_{1}){\frac {\partial }{\partial E_{2}}}\Omega _{2}(E_{2})\cdot {\frac {\partial E_{2}}{\partial E_{1}}}=0$

となる。一方、E₁ + E₂ = E（Eは定数）であるので、

${\frac {\partial E_{2}}{\partial E_{1}}}=-1$

となり、これを用いると、

$\Omega _{2}(E_{2}){\frac {\partial }{\partial E_{1}}}\Omega _{1}(E_{1})-\Omega _{1}(E_{1}){\frac {\partial }{\partial E_{2}}}\Omega _{2}(E_{2})=0$

すなわち、

${\frac {\partial }{\partial E_{1}}}\ln \Omega _{1}(E_{1})={\frac {\partial }{\partial E_{2}}}\ln \Omega _{2}(E_{2})$

となる。この関係式よりβを次のように定義する。

$\beta ={\frac {\partial }{\partial E}}\ln \Omega (E)$

熱力学との関係

上の項で統計力学的に定義したβを、熱力学の関係式と比較することで、逆温度βと絶対温度Tの関係式が求まる。

エントロピーの定義式

$S=k_{\rm {B}}\ln \Omega \,$

より、lnΩをβの定義式へ代入すると、

$\beta ={\frac {1}{k_{\rm {B}}}}{\frac {\partial S}{\partial E}}$

となる。これを熱力学の公式

${\frac {\partial S}{\partial E}}={\frac {1}{T}}$

と比較すると、βとTの関係式が次のように求まる。

$\beta ={\frac {1}{k_{\rm {B}}T}}$

参考文献

• 田崎晴明『統計力学Ⅰ』培風館、2008年。ISBN 978-4-563-02437-6。 

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