連続線型拡張

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数学の関数解析学の分野における連続線型拡張（れんぞくせんけいかくちょう、英: continuous linear extension）とは、次に述べる手順のことを指す：

完備なノルム線型空間 $X$ 上にある線型変換を定義する時、初めに $X$ 内の稠密な部分集合上に線型変換 $T$ を定義し、その後、後述の定理によって、$T$ を全空間へと拡張することが便利となることが、しばしばある。この結果として得られる拡張は線型かつ有界（したがって、連続）である。

定理

以下のBLT定理が知られている。なお「BLT定理」という名称は有界線型変換（Bounded Linear Transformation）による。

定理 (BLT定理) ―  $T$をノルム空間$X$から完備なノルム線型空間 $Y$ への任意の有界線型作用素とする。このとき$X$ の完備化${\bar {X}}$ から $Y$ へのある有界線型変換 ${\bar {T}}~:~{\bar {X}}\to Y$で

${\bar {T}}|_{X}=T$

を満たすものが一意に存在する。また${\bar {T}}$ の作用素ノルムは$T$ の作用素ノルムに等しい。

定理の後半のノルムに関する部分は前半から明らかに従う。

応用

一例として、リーマン積分の定義について考える。ある閉区間 $[a,b]$ 上の階段関数は、次の形式で記述される：

$f\equiv r_{1}{\mathit {1}}_{[a,x_{1})}+r_{2}{\mathit {1}}_{[x_{1},x_{2})}+\cdots +r_{n}{\mathit {1}}_{[x_{n-1},b]}.$

ここで $r_{1},\ldots ,r_{n}$ は実数であり、$a=x_{0}<x_{1}<\ldots <x_{n-1}<x_{n}=b$ とし、${\mathit {1}}_{S}$ は集合 $S$ の指示関数を表す。$[a,b]$ 上のすべての階段関数からなる空間に $L^{\infty }$ ノルム（Lp空間を参照）を備えたものはノルム線型空間であり、ここではそれを ${\mathcal {S}}$ と表す。階段関数の積分を、次のように定義する：

${\mathsf {I}}\left(\sum _{i=1}^{n}r_{i}{\mathit {1}}_{[x_{i-1},x_{i})}\right)=\sum _{i=1}^{n}r_{i}(x_{i}-x_{i-1}).$

このとき、関数としての ${\mathsf {I}}$ は、${\mathcal {S}}$ から $\mathbb {R}$ への有界線型変換である。

$L^{\infty }$ ノルムについて右側連続であるような、$[a,b]$ 上の区分的連続かつ有界関数からなる空間を、${\mathcal {PC}}$ で表す。上述の空間 ${\mathcal {S}}$ は、${\mathcal {PC}}$ において稠密であるため、BLT定理を応用することが出来る。結果として線型変換 ${\mathsf {I}}$ は、${\mathcal {PC}}$ から $\mathbb {R}$ への有界線型変換 ${\tilde {\mathsf {I}}}$ へと拡張される。これにより、${\mathcal {PC}}$ 内のすべての関数についてリーマン積分を定義することが出来る。すなわち、すべての $f\in {\mathcal {PC}}$ に対して、そのリーマン積分は

$\int _{a}^{b}f(x)dx={\tilde {\mathsf {I}}}(f)$

で定義される。

ハーン＝バナッハの定理

上述の定理によって、有界線型変換 $T:S\rightarrow Y$ を、「$S$ が $X$ において稠密であるなら」、${\bar {S}}=X$ から $Y$ へのある有界線型変換へと拡張することが出来た。$S$ が $X$ において稠密でない場合、ハーン＝バナッハの定理を使うことで、ある拡張が存在することを示すことが出来る場合もある。しかし、そのような拡張は必ずしも一意ではない。

参考文献

• Reed, Michael; Barry Simon (1980). Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis. San Diego: Academic Press. ISBN 0-12-585050-6