運動エネルギー
古典力学 | ||||||||||
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歴史 | ||||||||||
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質点の運動エネルギー
[編集]ニュートン力学において、物体の運動エネルギーは、物体の質量と速さの二乗に比例する。 つまり、速度 v で運動する質量 m の物体の運動エネルギー K は
で与えられる[注 1]。
と表されているとき、この力 F が時刻 t0 から t1 の間に為す仕事 は、
となる。 従って、物体の運動エネルギーの変化量は、その物体に加えられた仕事に等しい。
特に物体に一定の力 F が加えられ、物体の位置が から まで、 だけ変化したとき、
という等式が成り立つ。例えば物体が地表付近で自由落下する場合、重力加速度は一定と見なせるので、上記の等式が利用できる。 また、力F を物体の質量m と加速度 α の積で置き換えれば、等式は物体の質量に依存しない形に書き直される。
回転運動の運動エネルギー
[編集]同様に回転運動をする物体の運動エネルギーは、角速度 ω の2乗と慣性モーメント I に比例する。
解析力学における運動エネルギー
[編集]ラグランジュ力学の出発点となるラグランジアン L は運動エネルギー K とポテンシャルエネルギー V の差として定義することができる。
この際、ラグランジアンの変数は一般化座標 とその時間微分 、及び時刻 である。 多くの場合、一般化座標として位置 や 回転角 とするので、運動エネルギーは
となる。
ハミルトン力学の出発点となるハミルトニアンH はラグランジアンのルジャンドル変換から、
として定義される。ハミルトニアンの変数は一般化座標 と一般化運動量 である。元のラグランジアンでポテンシャルが に依存せず、運動エネルギーが上の形をしていれば、
( l は回転角度 θ に共役な角運動量)となり、運動エネルギーは
となる。
脚注
[編集]注釈
[編集]- ^ v は速度 v の大きさを表す。
関連項目
[編集]- 位置エネルギー - 重力などのポテンシャルエネルギーによって発生する運動エネルギーが潜在している状態であるともいえる。