黄金進法

黄金進法（おうごんしんぽう、golden ratio base, phinary）は、黄金比（φ = ${\textstyle {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$ ≈ 1.61803399）を底とした広義の記数法である。全ての非負実数はφを底とした0, 1列によって表され、このうち "11" の連続を除いたものを「標準形」と呼ぶ。"11" を含むφ進表記は、φⁿ + φⁿ⁻¹ = φⁿ⁺¹ という関係を用いて標準形に書き直すことができる。例えば 11_φ = 100_φ である。

黄金進法は無理数を底とした記数法であるが、全ての非負整数は一通りの（有限）φ進表現を持つ。また、有理数は循環小数として表すことができる。これらの表現は10進法でいうところの 1 = 0.999... のような場合を除いて一意的である。

例

10進	φの累乗の和	φ進
1	φ0	1
2	φ1 + φ−2	10.01
3	φ2 + φ−2	100.01
4	φ2 + φ0 + φ−2	101.01
5	φ3 + φ−1 + φ−4	1000.1001
6	φ3 + φ1 + φ−4	1010.0001
7	φ4 + φ−4	10000.0001
8	φ4 + φ0 + φ−4	10001.0001
9	φ4 + φ1 + φ−2 + φ−4	10010.0101
10	φ4 + φ2 + φ−2 + φ−4	10100.0101

黄金進数の標準形

以下、下線はその桁が負であることを意味するものとする。例えば、211.01_φ は、2φ² + φ¹ + 1 − φ⁻² の意である。この表現は、"2" や "1"（"0"、"1"以外の数）、"11" を含むため、標準形ではない。後述する四則の計算の際に、このような表現を標準形に直す必要が出てくる。

「標準化」には、以下の置換を用いる。

• 011_φ = 100_φ （φ + 1 = φ² の意）
• 0200_φ = 1001_φ （2φ² = φ³ + 1 の意）
• 010_φ = 101_φ （−φ = −φ² + 1 の意）

置換はどの順序で行っても結果は同じである。以下に示す例では、右が適用した置換で、左がその結果である。

  211.01φ
  300.01φ     011φ → 100φ
 1101.01φ     0200φ → 1001φ
10001.01φ     011φ → 100φ（再）
10001.101φ    010φ → 101φ
10000.011φ    010φ → 101φ（再）
10000.1φ      011φ → 100φ（再）

この方法で、任意の正の非標準形φ進数は一意に標準化できる。上記のルールでできる限りの置換を行った結果、先頭の桁が 1 であれば、その表現は負の数である。マイナスの符号を付して、1 と 1 を互いに入れ替えることにより、符号付きの標準形を得ることができる。例えば、

101_φ = −101_φ = −110.1_φ = −1.1_φ = −10_φ

などと計算される。

整数の黄金進数表現

通常の意味での整数を、黄金進数で表すと有限小数となる。例として、整数 5 をφ進法で表す手続きを見よう。

5 以下で最も大きなφの冪は φ³ = 1 + 2φ ≈ 4.236 である。5 との差を取ると、5 - (1 + 2φ) = 4 - 2φ ≈ 0.763 である。これ以下で最も大きなφの冪はφ^－1 = -1 + 1φ ≈ 0.618 である。差を取ると、4 - 2φ - (-1 + 1φ) = 5 - 3φ ≈ 0.145 である。これ以下で最も大きなφの冪は φ^－4 = 5 - 3φ ≈ 0.145 である。差を取ると 0 である。したがって、

5 = φ³ + φ^－1 + φ^－4

であり、φ進法で表すと 1000.1001_φ である。

ここで暗に用いている事実は、φの冪は全てある整数 a, b を用いて a + b φの形で書ける、ということである。これを確かめるには、φ² = φ + 1 と φ^－1 = -1 + φ に注意すればよい。そして、このような形の数同士の大小を調べることは易しい。実際、a + bφ > c + dφ は 2(a － c) － (d － b) > (d － b) × √5 と同値であり、この大小関係は一方のみが正であれば自明であるし、そうでなければ両辺を平方することにより確かめられる。

黄金進法により有限小数となるのは、通常の意味での整数のみならず、環

$\mathbb {Z} [\varphi ]:=\{a+b\varphi \mid a,b\in \mathbb {Z} \}$

の元であり、またそれに限ることが容易に分かる。

非一意性

N進数のときと同じように、黄金進数にも複数の表現がある。10進法における 0.999...=1 と同様に、φ進法では 0.1010101…_φ が 1 と等しいことが、以下の各方法で確かめられる。

• 非標準形に変換する: 1 = 0.11_φ = 0.1011_φ = 0.101011_φ = … = 0.10101010…_φ
• 等比級数: 1.0101010…_φ は以下に等しい

  $\sum _{k=0}^{\infty }\varphi ^{-2k}={\frac {1}{1-\varphi ^{-2}}}=\varphi$

• "シフト"して差分を取る: φ² x - x = 10.101010…_φ - 0.101010…_φ = 10_φ = φ このとき x = φ/(φ² － 1) = 1

この非一意性は記数法の特徴であり、1.0000 も 0.101010… も標準形である。一般に、φ進数における最後の 1 を 01 の繰り返しに置換することによって、別の標準形を作ることができる。

有理数の黄金進数表現

非負の有理数は黄金進数表現として循環小数で表すことができる。実は、循環小数で表すことができるのは、通常の意味での有理数のみならず、Z[φ] の商体

$\mathbb {Q} (\varphi )=\mathbb {Q} ({\sqrt {5}}):=\{a+b{\sqrt {5}}\mid a,b\in \mathbb {Q} \}$

の元であり、またそれに限る。いくつか例を挙げる。

• 1/2 = 0.010 010 010 010…_φ
• 1/3 = 0.00101000 00101000 00101000…_φ
• √5 = 10.1_φ
• 2+(1/13)√5 = 10.010 1000100010101000100010000000 1000100010101000100010000000 1000100010101000100010000000…_φ

Q(φ) の元の黄金進数表現が有限小数となることの証明は、通常の十進法の場合と同様である。実際、割り算を筆算で行った場合の余りの可能性は有限個しかないため、繰り返しのパターンが現れる。例えば、1/2 = 1/10.01_φ = 100_φ/1001_φ の筆算は次のようになる。

              0.0 1 0 0 1 ...
        ------------------------
1 0 0 1 ) 1 0 0.0 0 0 0 0 0 0 0
            1 0 0 1
            -------
                1 0 0 0 0
                  1 0 0 1
                  -------
                      ...

ここに、引き算が少々難しいが、10000_φ = 1100_φ = 1011_φ より 10000_φ - 1001_φ = 10_φ であることを用いている。

逆に、黄金進数表現で循環小数であるものが Q(φ) の元に限ることを見るには、循環小数の意味するところが、公比がφの冪である等比級数であることに注意すればよい。

無理数の黄金進数表現

通常の意味での無理数であっても、Q(φ) の元であれば黄金進数表現において有限小数となる。

• φ = (1+√5)/2 = 10_φ
• √5 = 10.1_φ

一方、Q[φ] の元でない実数は循環しない無限小数となる。

• π = 100.01001 01010 01000 10101 01000 00101…_φ（オンライン整数列大辞典の数列 A102243）
• e = 100.00001 00001 00100 00000 01000…_φ（A105165）
• √2 = 1.01000 00101 00101 00100 00000 10100 00000 00101…_φ

四則計算

10進法の通常の四則と同様にして、φ進法においても四則が行える。加法、減法、乗法については、以下のように大きく2つの方法がある。

計算して標準化

2つのφ進数の加法として、各々の桁を（繰り上がり等を気にせず）そのまま足してから標準形に直す方法が考えられる。減法も同様に（上の桁から借りてくることを気にせず、必要なら 1 の記号を用いることにより）そのまま引いてから標準化すればよい。乗法も同様である。以下に計算の例を挙げる。

• 2 + 3 = 10.01_φ + 100.01_φ = 110.02_φ = 110.1001_φ = 1000.1001_φ
• 7 - 2 = 10000.0001_φ - 10.01_φ = 10010.0101_φ = 1110.0101_φ = 1001.0101_φ = 1000.1001_φ
• 2 × 3 = 10.01_φ × 100.01_φ = 1000.1_φ + 1.0001_φ = 1001.1001_φ = 1010.0001_φ

0と1以外の数字を避ける

さらに「自然な」方法として、1 + 1 の加法または 0 - 1 の減法を避ける方法がある。これはφ進数を非標準形に置換することによって実現できる。例えば、次のようにする。

• 2 + 3 = 10.01_φ + 100.01_φ = 10.01_φ + 100.0011_φ = 110.0111_φ = 1000.1001_φ
• 7 - 2 = 10000.0001_φ - 10.01_φ = 1100.0001_φ - 10.01_φ = 1011.0001_φ - 10.01_φ = 1010.1101_φ - 10.01_φ = 1000.1001_φ

除法

すでに見たように、除法は筆算によって行うことができる。商が Z[φ] の元ならば筆算が有限回で終了して有限小数となり、Q(φ) の元ならば繰り返しが生じて循環小数を得る。

フィボナッチ符号との関係

フィボナッチ符号はフィボナッチ数の重みを持つ0,1列である。φ進法と同じように、標準形は F_k+1 = F_k + F_k-1が適用され、"11" を持たない。例えば、30 は

30 = 1×21 + 0×13 + 1×8 + 0×5 + 0×3 + 0×2 + 1×1 + 0×1 = 10100010_fib

と表現される。

参考文献

• H. ヴァルサー 著『黄金分割』蟹江幸博 訳、日本評論社、Sep. 2002、131-134頁。ISBN 4-535-78347-0。 
• Bergman, George (1957), “A Number System with an Irrational Base”, Mathematics Magazine 31 (2): 98–110 
• Plojhar, Jozef (1971), “the Good~natured Rabbit~breeder”, Manifold 11: 26–30 

外部リンク

• Using Powers of Phi to represent Integers (Base Phi)