ウィグナーの6j記号 は、1940年にユージン・ウィグナー によって定義され、1965年に発表された。ラカー係数 と次のような関係にある。
{
j
1
j
2
j
3
j
4
j
5
j
6
}
=
(
−
1
)
j
1
+
j
2
+
j
4
+
j
5
W
(
j
1
j
2
j
5
j
4
;
j
3
j
6
)
.
{\displaystyle {\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}\end{Bmatrix}}=(-1)^{j_{1}+j_{2}+j_{4}+j_{5}}W(j_{1}j_{2}j_{5}j_{4};j_{3}j_{6}).}
ラカー係数よりも高い対称性を持っている。
6j記号は任意の二つの列の交換に対して不変である。
{
j
1
j
2
j
3
j
4
j
5
j
6
}
=
{
j
2
j
1
j
3
j
5
j
4
j
6
}
=
{
j
1
j
3
j
2
j
4
j
6
j
5
}
=
{
j
3
j
2
j
1
j
6
j
5
j
4
}
.
{\displaystyle {\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}j_{2}&j_{1}&j_{3}\\j_{5}&j_{4}&j_{6}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{3}&j_{2}\\j_{4}&j_{6}&j_{5}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}j_{3}&j_{2}&j_{1}\\j_{6}&j_{5}&j_{4}\end{Bmatrix}}.}
任意の2つの列における上下の要素を入れ替えても不変である。
{
j
1
j
2
j
3
j
4
j
5
j
6
}
=
{
j
4
j
5
j
3
j
1
j
2
j
6
}
=
{
j
1
j
5
j
6
j
4
j
2
j
3
}
=
{
j
4
j
2
j
6
j
1
j
5
j
3
}
.
{\displaystyle {\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}j_{4}&j_{5}&j_{3}\\j_{1}&j_{2}&j_{6}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{5}&j_{6}\\j_{4}&j_{2}&j_{3}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}j_{4}&j_{2}&j_{6}\\j_{1}&j_{5}&j_{3}\end{Bmatrix}}.}
6j記号
{
j
1
j
2
j
3
j
4
j
5
j
6
}
{\displaystyle {\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}\end{Bmatrix}}}
は、
j
1
{\displaystyle j_{1}}
j
2
{\displaystyle j_{2}}
j
3
{\displaystyle j_{3}}
三角不等式 を満たさない場合は0となる。
j
1
=
|
j
2
−
j
3
|
,
…
,
j
2
+
j
3
.
{\displaystyle j_{1}=|j_{2}-j_{3}|,\ldots ,j_{2}+j_{3}.}
上下の要素の入れ替えに対する対称性とあわせて考えると、
(
j
1
,
j
5
,
j
6
)
{\displaystyle (j_{1},j_{5},j_{6})}
(
j
4
,
j
2
,
j
6
)
{\displaystyle (j_{4},j_{2},j_{6})}
(
j
4
,
j
5
,
j
3
)
{\displaystyle (j_{4},j_{5},j_{3})}
{
a
b
c
d
e
f
}
=
∏
i
=
1
4
Δ
(
α
^
i
)
∑
k
(
−
1
)
k
(
k
+
1
)
!
∏
j
=
1
4
(
k
−
α
j
)
!
∏
l
=
1
3
(
β
l
−
k
)
!
{\displaystyle {\begin{Bmatrix}a&b&c\\d&e&f\end{Bmatrix}}=\prod _{i=1}^{4}{\sqrt {\Delta ({\hat {\alpha }}_{i})}}\sum _{k}(-1)^{k}{\frac {(k+1)!}{\prod _{j=1}^{4}(k-\alpha _{j})!\prod _{l=1}^{3}(\beta _{l}-k)!}}}
[ 1]
ここで、
Δ
(
a
,
b
,
c
)
=
(
a
+
b
−
c
)
!
(
a
−
b
+
c
)
!
(
−
a
+
b
+
c
)
!
(
a
+
b
+
c
+
1
)
!
{\displaystyle {\begin{aligned}\Delta (a,b,c)={\frac {(a+b-c)!(a-b+c)!(-a+b+c)!}{(a+b+c+1)!}}\end{aligned}}}
α
^
1
=
(
a
,
b
,
c
)
α
^
2
=
(
d
,
e
,
c
)
α
^
3
=
(
a
,
e
,
f
)
α
^
4
=
(
d
,
b
,
f
)
α
1
=
a
+
b
+
c
α
2
=
d
+
e
+
c
α
3
=
a
+
e
+
f
α
4
=
d
+
b
+
f
β
1
=
a
+
b
+
d
+
e
β
2
=
a
+
c
+
d
+
f
β
3
=
b
+
c
+
e
+
f
{\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {\alpha }}_{1}&=(a,b,c)&{\hat {\alpha }}_{2}&=(d,e,c)&{\hat {\alpha }}_{3}&=(a,e,f)&{\hat {\alpha }}_{4}&=(d,b,f)\\\alpha _{1}&=a+b+c&\alpha _{2}&=d+e+c&\alpha _{3}&=a+e+f&\alpha _{4}&=d+b+f\\\beta _{1}&=a+b+d+e&\beta _{2}&=a+c+d+f&\beta _{3}&=b+c+e+f\end{aligned}}}
j
6
=
0
{\displaystyle j_{6}=0}
{
j
1
j
2
j
3
j
4
j
5
0
}
=
δ
j
2
,
j
4
δ
j
1
,
j
5
(
2
j
1
+
1
)
(
2
j
2
+
1
)
(
−
1
)
j
1
+
j
2
+
j
3
Δ
(
j
1
,
j
2
,
j
3
)
.
{\displaystyle {\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&0\end{Bmatrix}}={\frac {\delta _{j_{2},j_{4}}\delta _{j_{1},j_{5}}}{\sqrt {(2j_{1}+1)(2j_{2}+1)}}}(-1)^{j_{1}+j_{2}+j_{3}}\Delta (j_{1},j_{2},j_{3}).}
(
j
1
,
j
2
,
j
3
)
{\displaystyle (j_{1},j_{2},j_{3})}
Δ
(
j
1
,
j
2
,
j
3
)
{\displaystyle \Delta (j_{1},j_{2},j_{3})}
j
{\displaystyle j}
6j記号は次の直交関係を満たす。
∑
j
3
(
2
j
3
+
1
)
{
j
1
j
2
j
3
j
4
j
5
j
6
}
{
j
1
j
2
j
3
j
4
j
5
j
6
′
}
=
δ
j
6
j
6
′
2
j
6
+
1
Δ
(
j
1
,
j
5
,
j
6
)
Δ
(
j
4
,
j
2
,
j
6
)
.
{\displaystyle \sum _{j_{3}}(2j_{3}+1){\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}\end{Bmatrix}}{\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}'\end{Bmatrix}}={\frac {\delta _{j_{6}^{}j_{6}'}}{2j_{6}+1}}\Delta (j_{1},j_{5},j_{6})\Delta (j_{4},j_{2},j_{6}).}
Biedenharn, L. C.; van Dam, H. (1965). Quantum Theory of Angular Momentum: A collection of Reprints and Original Papers . New York: Academic Press . ISBN 0120960567 Biedenharn, L. C.; Louck, J. D. (1981). Angular Momentum in Quantum Physics . Reading, Massachusetts: Addison-Wesley . ISBN 0201135078 Johansson, H. T., & Forssén, C. (2016). Fast and accurate evaluation of Wigner 3 j, 6 j, and 9 j symbols using prime factorization and multiword integer arithmetic. SIAM Journal on Scientific Computing , 38 (1), A376-A384. 
