club集合

club集合 (クラブしゅうごう) あるいは閉非有界集合は、極限順序数の部分集合のうち、順序位相の意味で閉であり、基準となっている極限順序数の中で非有界なものである。

club という名前は、closed (閉) と unbounded (非有界) の合成語である。

正式な定義

正式には、$\kappa$ を極限順序数として、$C\subset \kappa$ が $\kappa$ の中で閉であるということは、任意の $\alpha <\kappa$ に対して、「 $\sup(C\cap \alpha )=\alpha \neq 0$ ならば $\alpha \in C$」となることである。従って、$C$ の中の点列の極限が $\kappa$ 未満であればそれは $C$ に属する。

$\kappa$ を極限順序数として、$C\subset \kappa$ が $\kappa$ の中で非有界であるということは、任意の $\alpha <\kappa$ に対して、$\alpha <\beta$ なる $\beta \in C$ が存在するということである。

閉かつ非有界な集合をclub集合という。閉な真クラスも同様に定義される(全ての順序数による真クラスの中で、順序数の任意の真クラスは非有界である)。

例として、可算極限順序数全てによる集合は $\omega _{1}$ の中でclubである。しかし、それより大きい極限順序数の中ではclubではない。閉でないし非有界でもないからである。正則基数 $\kappa$ に対して、$\kappa$ 未満の極限順序数全てによる集合は $\kappa$ 内でclubである。

clubフィルター

$\kappa \,$ を共終数 $\lambda \,$ の極限順序数とする。ある $\alpha <\lambda \,$ に対して、列 $\langle C_{\xi }:\xi <\alpha \rangle \,$ が $\kappa \,$ のclub集合の列であったとする。このとき、$\bigcap _{\xi <\alpha }C_{\xi }\,$ もclubである。これを見るために、閉集合たちの共通部分は閉集合であるのは簡単なので、この集合が非有界であることを確かめる。

$\beta _{0}<\kappa \,$ を任意にとる。ある $n<\omega$ に対して $\beta _{n}$ が存在するとき、$C_{\xi }\,$ から $\beta _{n+1}^{\xi }>\beta _{n}\,$ となるように、$\beta _{n+1}^{\xi }$ をとる。これは各 $C_{\xi }\,$ が非有界だから可能。そして、これらによる集合は順序数 $\lambda \,$ 未満の長さであり、この集合の上限は $\kappa \,$ 未満である。そこで、これを $\beta _{n+1}\,$ と定める。この方法により、可算列 $\beta _{0},\beta _{1},\beta _{2},\dots \,$ を得る。

この列の極限は $\beta _{0}^{\xi },\beta _{1}^{\xi },\beta _{2}^{\xi },\dots \,$ の極限でもある。そして各 $C_{\xi }\,$ は閉で $\lambda \,$ が非可算なので、この極限は各 $C_{\xi }\,$ の元であるべきで、これは $\beta _{0}<\kappa \,$ より真に大きい $\bigcap _{\xi <\alpha }C_{\xi }\,$ の元である。これで $\bigcap _{\xi <\alpha }C_{\xi }\,$ が非有界であることが示された。このことから、$\kappa \,$ が正則基数であるとき $\{S\subset \kappa :\exists C\subset S{\text{ such that }}C{\text{ is club in }}\kappa \}\,$ は非自明な $\kappa \,$ 上の $\kappa \,$ -完備フィルターである。これをclubフィルターといい、$\operatorname {club} (\kappa )$ と表す。clubフィルターは対角線共通部分 (diagonal intersection) について閉じている。

これがフィルターであることを見る。

まず、$\kappa \in \operatorname {club} (\kappa )$ である( $\kappa$ 自身は $\kappa$ のclub集合である)。$x\in \operatorname {club} (\kappa )$ ならば、$x$ を部分集合としてもつ $\kappa$ の部分集合はやはり $\operatorname {club} (\kappa )$ の元である。 $\kappa$ -完備であることは上で証明してあった。よって、これでフィルター性は確認された。

$\operatorname {club} (\kappa )$ が対角線共通部分について閉じていることを確認する。$\langle C_{i}|i<\kappa \rangle$ をclub集合の列とする。$C$ をその対角線共通部分すなわち $C=\Delta _{i<\kappa }C_{i}$ とする。 $C$ が閉であることを示す。$S\subset C$ かつ $S\subset \alpha <\kappa$ かつ $\bigcup S=\alpha$ とする。このとき、$\gamma \in S$ とすると、各 $\beta <\gamma$ に対して、$\gamma \in C_{\beta }$ である。各 $\beta <\alpha$ について、$\alpha \in C_{\beta }$ である。従って、$\alpha \in C$ である。よって、閉集合であることは示された。$C$ が非有界であることを示す。$\alpha <\kappa$ として、可算列 $\langle \xi _{i}|i<\omega \rangle$ を以下のように定義する: $\xi _{0}=\alpha$ とし、 $\xi _{i+1}$ を、$\xi _{i+1}>\xi _{i}$ なるうちでの $\bigcap _{\gamma <\xi _{i}}C_{\gamma }$ の最小要素とする。そのような要素は、多くないclub集合の共通部分がclubなので存在する。そして $\xi =\bigcup _{i<\omega }\xi _{i}>\alpha$ かつ $\xi \in C$ である。それは、全ての $i<\xi$ について、その要素が $C_{i}$ の元だからである。よって、$C$ は非有界である。

$\kappa \,$ が正則基数なら、club集合の族の対角線共通部分はclub集合である。さらに言えば、$\kappa \,$ が正則で ${\mathcal {F}}\,$ を $\kappa \,,$ 上のフィルターで対角線共通部分について閉じていて $\{\xi <\kappa :\xi \geq \alpha \}\,$ (ただし $\alpha <\kappa \,$ )の形の集合を全て要素に持つとすると ${\mathcal {F}}\,$ は全てのclub集合を要素に持つ。

関連項目

• 定常集合

参考文献

• Jech, Thomas, 2003. Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded. Springer. ISBN 3-540-44085-2.
• この記事は、クリエイティブ・コモンズ・ライセンス 表示-継承 3.0 非移植のもと提供されているオンライン数学辞典『PlanetMath』の項目club filterの本文を含む
• この記事は、クリエイティブ・コモンズ・ライセンス 表示-継承 3.0 非移植のもと提供されているオンライン数学辞典『PlanetMath』の項目Clubの本文を含む
• Levy, A. (1979) Basic Set Theory, Perspectives in Mathematical Logic, Springer-Verlag. Reprinted 2002, Dover. ISBN 0-486-42079-5