DSダイアグラム （DS-diagram）[ 注 1] 数学 における3次元多様体 の表現方法の一つ。3次元多様体
M
{\displaystyle M}
B
3
{\displaystyle B^{3}}
S
2
{\displaystyle S^{2}}
正則グラフ として表現したものである[ 3]
DSダイアグラムは、曲面（コンパクトな2次元多様体）をその辺同士の貼合せとして表示する基本多角形 の3次元的なアナロジーとなっている。基本多角形が記号列によって内容を一意に表現可能であるのと同様に、DSダイアグラムにおいてもEサイクルに注目することによって記号列で表現することが可能である。
2次元の有限多面体
P
{\displaystyle P}
X
{\displaystyle X}
simple polyhedron （又はclosed fake surface[ 4] [ 5] [ 6] [ 7]
X
≡
{
(
x
,
y
,
z
)
∈
R
3
|
z
=
0
}
∪
{
(
x
,
y
,
z
)
∈
R
3
|
y
=
0
,
z
≥
0
}
∪
{
(
x
,
y
,
z
)
∈
R
3
|
x
=
0
,
z
≤
0
}
{\displaystyle {\begin{aligned}X\equiv &\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}|z=0\}\\&\cup \{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}|y=0,z\geq 0\}\\&\cup \{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}|x=0,z\leq 0\}\end{aligned}}}
{
(
t
,
0
,
0
)
∈
X
|
∃
t
∈
R
}
{\displaystyle \{(t,0,0)\in X|\exists t\in \mathbb {R} \}}
{
(
0
,
t
,
0
)
∈
X
|
∃
t
∈
R
}
{\displaystyle \{(0,t,0)\in X|\exists t\in \mathbb {R} \}}
P
{\displaystyle P}
S
(
P
)
{\displaystyle S(P)}
(
0
,
0
,
0
)
∈
X
{\displaystyle (0,0,0)\in X}
P
{\displaystyle P}
V
(
P
)
(
⊆
S
(
P
)
)
{\displaystyle V(P)(\subseteq S(P))}
G
{\displaystyle G}
S
2
{\displaystyle S^{2}}
正則グラフ とする。
あるsimple polyhedron
P
{\displaystyle P}
同相 写像
f
:
S
2
→
P
{\displaystyle f:S^{2}\rightarrow P}
V
(
G
)
{\displaystyle V(G)}
G
{\displaystyle G}
(
G
,
f
,
P
)
{\displaystyle (G,f,P)}
DSダイアグラム という[ 5]
G
{\displaystyle G}
f
−
1
(
S
(
P
)
)
=
G
{\displaystyle f^{-1}(S(P))=G}
f
−
1
(
V
(
P
)
)
=
V
(
G
)
{\displaystyle f^{-1}(V(P))=V(G)}
|
f
−
1
(
x
)
|
=
{
4
x
∈
V
(
P
)
3
x
∈
S
(
P
)
−
V
(
P
)
2
x
∈
P
−
S
(
P
)
{\displaystyle |f^{-1}(x)|={\begin{cases}4&x\in V(P)\\3&x\in S(P)-V(P)\\2&x\in P-S(P)\\\end{cases}}}
DSダイアグラム
(
G
,
f
,
P
)
{\displaystyle (G,f,P)}
e
{\displaystyle e}
G
{\displaystyle G}
サイクル 、
Σ
+
,
Σ
−
{\displaystyle \Sigma _{+},\Sigma _{-}}
S
2
−
e
{\displaystyle S^{2}-e}
e
{\displaystyle e}
Eサイクル （E-cycle）と呼ばれる[ 注 2] [ 8] [ 5]
|
e
∩
f
−
1
(
x
)
|
=
{
2
x
∈
V
(
P
)
1
x
∈
S
(
P
)
−
V
(
P
)
{\displaystyle |e\cap f^{-1}(x)|={\begin{cases}2&x\in V(P)\\1&x\in S(P)-V(P)\\\end{cases}}}
f
|
Σ
+
,
f
|
Σ
−
{\displaystyle f|_{\Sigma _{+}},f|_{\Sigma _{-}}}
Eサイクル
e
{\displaystyle e}
(
G
,
f
,
P
;
e
)
{\displaystyle (G,f,P;e)}
Eサイクル上の各頂点に、それが張り合わされる頂点が
Σ
+
,
Σ
−
{\displaystyle \Sigma _{+},\Sigma _{-}}
[ 注 3]
Δ
=
(
G
,
f
,
P
;
e
)
{\displaystyle \Delta =(G,f,P;e)}
A
(
Δ
)
{\displaystyle {\mathcal {A}}(\Delta )}
Fig. 1.
S
2
×
S
1
{\displaystyle S^{2}\times S^{1}}
DSダイアグラム
(
G
,
f
,
P
)
{\displaystyle (G,f,P)}
f
:
S
2
→
P
{\displaystyle f:S^{2}\rightarrow P}
B
3
{\displaystyle B^{3}}
B
3
/
f
{\displaystyle B^{3}/f}
G
{\displaystyle G}
S
3
{\displaystyle S^{3}}
Fig. 1は頂点がなく辺のみを有するグラフ
G
{\displaystyle G}
S
2
×
S
1
{\displaystyle S^{2}\times S^{1}}
[ 5] Eサイクル付DSダイアグラム
Δ
{\displaystyle \Delta }
Δ
{\displaystyle \Delta }
Δ
{\displaystyle \Delta }
b
l
(
Δ
)
{\displaystyle bl(\Delta )}
[ 5]
同じ多様体を表す全てのEサイクル付DSダイアグラム
Δ
{\displaystyle \Delta }
b
l
(
Δ
)
{\displaystyle bl(\Delta )}
B
l
(
M
)
{\displaystyle Bl(M)}
[ 5]
B
l
(
M
)
≡
min
M
(
Δ
)
=
M
b
l
(
Δ
)
{\displaystyle Bl(M)\equiv \min _{M(\Delta )=M}bl(\Delta )}
ブロック数は明らかに多様体の位相不変量 であり、更に
S
3
{\displaystyle S^{3}}
[ 9]
^ ’DS’は’Dehn-Seifert’[ 1] [ 2]
^ ’E’はequatorに因む。
^ Whitneyの定理により3-正則グラフの球面への埋め込みは、球面のisotopyを除いて一意である。
^ Ishii, I., Ishikawa, M., Koda, Y. et al. (2023). “Positive flow-spines and contact 3-manifolds”. Annali di Matematica . doi :10.1007/s10231-023-01314-1 . ^ 山下正勝「DS-diagram と Heegaard diagram(低次元トポロジーの諸問題と最近の成果) 」『数理解析研究所講究録』第636巻、京都大学数理解析研究所、1987年12月、91-107頁、CRID 1050001335635897856 、hdl :2433/100121 ISSN 1880-2818 。 ^ Ikeda, Hiroshi; Yoshinobu, Inoue (1985-12). “Invitation to DS-diagrams” (PDF). Kobe journal of mathematics 2 : 169-186. CRID 1571980077480491648 . ISSN 02899051 . http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=87i:57010&return=pdf . ^ H. Ikeda. Acyclic fake surfaces, Topology 10 (1971) 9–36 . https://doi.org/10.18910/3551 . ^ a b c d e f ENDOH, Mariko; ISHII, Ippei (2005). “A new complexity for 3-manifolds” . Japanese journal of mathematics. New series (日本数学会) 31 (1): 131-156. CRID 1390282680235459584 . doi :10.4099/math1924.31.131 . ISSN 02892316 . https://doi.org/10.4099/math1924.31.131 .
^ Matveev S. (2003). Algorithmic topology and classification of 3-manifolds, Algorithms and Computation in Mathematics, 9. . Springer-Verlag, Berlin ^ Benedetti, R. and Petronio, C. (2006). Branched Standard Spines of 3-manifolds . Lecture Notes in Mathematics. Springer Berlin Heidelberg. ISBN 9783540683452 . LCCN 97-7250 ^ IKEDA, H. (1986). “DS-diagrams with E-cycle” (PDF). Kobe J. Math. 3 : 103-112. CRID 1571980075208942592 . http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=88f:57017&return=pdf . ^ Yuya, Koda (2007-05). “Branched spines and Heegaard genus of 3-manifolds” . manuscripta mathematica (Springer Science and Business Media LLC) 123 (3): 285-299. CRID 1360292618894334208 . doi :10.1007/s00229-007-0097-z . ISSN 0025-2611 . https://doi.org/10.1007/s00229-007-0097-z .
