e進法

e 進法とは、記数法の底に自然対数の底（ネイピア数$e$）を使った記数法である。（実用的ではないが）ある仮定の下で最も経済的である、という特徴がある。

e 進法が最も経済的な記数法であることの証明

数を $x$ ( $x>0,x\in \mathbb {R}$ )進法で表すとしたとき，
この数一桁を表すのに $x$ 個の記憶素子が要求されるものと仮定する。このとき、$n$ ( $n$ は定数)桁の数を表すのに必要な記憶素子の数 $N(x)$ は，

$N(x)=nx$

と表せる．
また， $x$ 進法で表された $n$ 桁の数の情報量 $I$ ( $I$ は定数， $I>x$ )について，

$I=x^{n}\Leftrightarrow n=\log _{x}I={\frac {\ln I}{\ln x}}$

従って， $I$ の情報量を $x$ 進法の $n$ 桁で表すのに必要な記憶素子の数 $N(x)$ は，

$N(x)=nx=\ln I\cdot {\frac {x}{\ln x}}$

ここで，

${\begin{cases}N^{\prime }(x)<0&0<x<1\\N^{\prime }(x)>0&x>1\end{cases}}$

より， $N(x)$ を最小にする $x$ の値を求めるには， $N(x)$ の微分係数が0となるような $x$ の値を求めれば良い．

${\begin{aligned}N^{\prime }(x)&=\ln I\cdot \left({\frac {x}{\ln x}}\right)^{\prime }\\&=\ln I\cdot {\frac {\ln x-1}{\left(\ln x\right)^{2}}}\\\end{aligned}}$

$\ln x=1$ のとき，$N^{\prime }(x)=0$ であるので，

$x=e$

以上より最も高効率な記数法は $e$ 進法である．

参考文献

• 伊東規之『マイクロコンピュータの基礎』日本理工出版会
• 桜井進『超・超面白くて眠れなくなる数学』PHP研究所

関連項目

• ネイピア数
• 広義の記数法
• 三進法