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作用素代数 において、GNS構成法 （GNSこうせいほう、英 : GNS construction ）、またはGelfand–Naimark–Segal構成法 とはC*-代数 に状態と呼ばれる線形汎関数 が与えられたときに、巡回表現と呼ばれる特別な表現を構成する方法。GNSの語は考案者である3人の数学者Gelfand、Naimark、Segalの頭文字に由来する。場の量子論 や量子統計力学 では、ヒルベルト空間 を離れ、物理量のなす代数のみから理論を構築してもGNS構成法により、全ての物理量の期待値が与えられたときに、逆にヒルベルト空間とその上の作用による物理量の表現を構成することができる。自由度 が無限大である系では、当初に設定した空間を飛び出さねばならないことが多い。このときGNS構成法を用いれば、新しいヒルベルト空間を作ることができる。
作用素代数の一つであるC*-代数
A
{\displaystyle {\mathfrak {A}}}
有界作用素 の有する性質を抽象化し、対合 と呼ばれる随伴作用
∗
:
A
→
A
∗
{\displaystyle \ast :A\rightarrow A^{\ast }}
ノルム が存在し、ノルムについて完備なバナッハ空間 でもある。
π
:
A
→
B
(
H
)
{\displaystyle \pi :{\mathfrak {A}}\rightarrow {\mathcal {B}}({\mathcal {H}})}
A
{\displaystyle {\mathfrak {A}}}
H
{\displaystyle {\mathcal {H}}}
B
(
H
)
{\displaystyle {\mathcal {B}}({\mathcal {H}})}
準同型写像 とすると、
A
{\displaystyle {\mathfrak {A}}}
A
{\displaystyle A}
π
(
A
)
{\displaystyle \pi (A)}
H
{\displaystyle {\mathcal {H}}}
(
H
,
π
)
{\displaystyle ({\mathcal {H}},\pi )}
A
{\displaystyle {\mathfrak {A}}}
A
{\displaystyle A}
ω
(
A
)
{\displaystyle \omega (A)}
ω
{\displaystyle \omega }
状態 と呼ぶ。このとき、GNS構成法では、C*-代数
A
{\displaystyle {\mathfrak {A}}}
ω
{\displaystyle \omega }
巡回表現 と呼ばれる特別な表現
(
H
ω
,
π
ω
)
{\displaystyle ({\mathcal {H}}_{\omega },\pi _{\omega })}
巡回ベクトル
Ω
ω
{\displaystyle \Omega _{\omega }}
ω
(
A
)
=
⟨
Ω
ω
,
π
ω
(
A
)
Ω
ω
⟩
{\displaystyle \omega (A)=\langle \Omega _{\omega },\pi _{\omega }(A)\Omega _{\omega }\rangle }
H
ω
=
π
ω
(
A
)
Ω
ω
¯
{\displaystyle {\mathcal {H}}_{\omega }={\overline {\pi _{\omega }({\mathfrak {A}})\Omega _{\omega }}}}
(
H
ω
,
π
ω
,
Ω
ω
)
{\displaystyle ({\mathcal {H}}_{\omega },\pi _{\omega },\Omega _{\omega })}
GNS構成 と呼ぶ。
Ola Bratteli and Derek W. Robinson, Operator Algebras and Quantum Statistical Mechanics 1: C*- and W*-Algebras. Symmetry Groups. Decomposition of States , Springer (2002) ISBN 978-3540170938 
