クロネッカーの定理

数学では、クロネッカーの定理（クロネッカーのていり、英: Kronecker's theorem）は、レオポルト・クロネッカーの名前に因んだ 2つの定理である。

拡大体の存在

この定理は、ある体 F の元を係数に持つ定数ではない多項式 p(x) ∈ F[x] が、拡大体 $E\supset F$ に根を持つことを主張する。

たとえば、x² + 1 = 0 のような実数係数の多項式は、複素数である 2つの根を持つ。

クロネッカーは元々有理数以外の数の存在を認めていなかったものの、この定理は普通クロネッカーの業績とされている。また、この定理によって多くの集合に対する有用な構成(construction)が与えられる。

ディオファントス近似での結果

クロネッカーの定理は、ディオファントス近似を 1 ≤ i ≤ N とした複数の実数 x_i へ適用した結果としても表現され、これはディリクレの近似定理を多変数へと一般化した定理である。

古典的なクロネッカーの近似定理は、次のように定式化される。実数 $\alpha _{i}=(\alpha _{i1},\cdots ,\alpha _{in})\in \mathbb {R} ^{n},i=1,\cdots ,m$ と $\beta _{j}=(\beta _{1},\cdots ,\beta _{n})\in \mathbb {R} ^{n}$ が与えられると、すべての小さな $\epsilon >0$ に対し、整数 $p_{i}$ と $q_{j}$ が存在し、 $${\biggl |}\sum _{i=1}^{m}q_{i}\alpha _{ij}-p_{j}-\beta _{j}{\biggr |}<\epsilon ,\ \ \ \ 1\leq j\leq n,$$ が成り立つことと、 $$\sum _{j=1}^{n}\alpha _{ij}r_{j}\in \mathbb {Z} ,\ \ i=1,\dots ,m\ ,$$ であるすべての $r_{1},\dots ,r_{n}\in \mathbb {Z} ,\ i=1,\dots ,m$ に対し、数 $\sum _{j=1}^{n}\beta _{j}r_{j}$ が再び整数となることとは同値である。

クロネッカーの近似定理は、19世紀の終わりにレオポルト・クロネッカーにより最初に証明された。20世紀後半以降、n次元トーラスやマーラー測度の考え方と関係していることが明らかとなっている。 力学系の言葉では、クロネッカーの定理は、惑星の周期に（互いの間の引力相互作用による）依存関係が存在しないとすれば、恒星の周りを円軌道を描いて回る惑星は、時間を経てすべてが整列することを意味する。

n次元トーラスとの関係

N を自然数として、トーラス T を

T = R^N/Z^N

と定義すると、トーラス上の点 P により生成される部分群 <P> の閉包は有限群か、あるいは、T の中に含まれるあるトーラス T′ である。元々のクロネッカーの定理 (クロネッカー, 1884) の主張は、

T′ = T,

のための必要条件は、数 x_i と 1 が有理数体上で線型独立であることであり、これは同時に十分条件でもあるというものである。ここで、x_i と 1 の非ゼロな有理数係数での線型結合 $k_{0}\cdot 1+k_{1}x_{1}+...+k_{N}x_{N};\ (k_{0},k_{i}\in \mathbb {Q} \setminus \{0\})$ が 0 であるならば、係数は整数にとることができ、群 T の自明指標(trivial character)以外の指標 χ が P 上で値 1 をとることが容易に分かる。ポントリャーギン双対性により、T′ を χ の核の部分集合とすることができ、故に T 全体には等しくない。

実際、ここでポントリャーギン双対性を完全に使うと、クロネッカーの定理の全体は、

χ(P) = 1

となる χ の核の交叉として、<P> の閉包を記述するものとなる。

このことは、T の単元生成な(monogenic)な閉部分群の間の（単調な）ガロア接続と（位相的な意味で、単一の生成子を持つ）、与えられた点を含む核を持つ指標の集合を与える。すべての閉部分群が単調生成であるわけではない。たとえば、単位元の連結成分が次元 ≥ 1 のトーラスを持ち、連結でない閉部分集合はそのような部分集合ではありえない。

定理において、どのようにうまく（統一的に）P の多重化 mP が閉包を満たすかは、未解決である。1次元の場合、分布は等分布定理(equidistribution theorem)により一様である。

参考文献

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), “Kronecker's theorem”, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, https://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Kronecker_theorem 

関連項目

• ワイルの判定条件 (Weyl's criterion)