コバノフホモロジー

数学において、コバノフホモロジー(英: Khovanov homology)は、鎖複体のホモロジーとしてできる向きづけられた結び目の不変量である。コバノフホモロジーはジョーンズ多項式のカテゴリ化として考えられる。

コバノフホモロジーは1990年代の終わりに、ミハイル・コバノフ(Mikhail Khovanov)により導入された。彼は当時はカリフォルニア大学デービス校に在籍しており、現在はコロンビア大学に所属している。

概要

結び目もしくは絡み目 L を表現する図形 D に、コバノフ括弧 [D]、これは次数付きベクトル空間の鎖複体、を割り当てる。すると、ジョーンズ多項式の構成の中でのカウフマン括弧の類似物となる。次に、[D] を（次数付きベクトル空間の中の）一連の次数シフトと（鎖複体の中の）高さシフトにより正規化して、新しい複体 C(D) を得る。この複体のホモロジーは L の不変量であることが分かり、その次数付きオイラー標数は L のジョーンズ多項式であることが分かる。

定義

(以下の定義はドロール・バー-ナタン(Dror Bar-Natan)の論文に沿う。)

次数付きベクトル空間の上の次数シフト 作用素を {l} で表す；すなわち、m 次元内の同次成分は、 m + l へシフトする。

同様にして、鎖複体の上の 高さシフト 作用素を[s] と表す。つまり、r 番目のベクトル空間 もしくは 加群は、(r + s) 番目の場所へ移動し、そのときにすべての微分写像もともにシフトすることになる。

V を次数 1 の生成子 q と次数 −1 の生成子 q⁻¹ とを持つ次数付きベクトル空間とする。

ここで絡み目 L を表現する任意の図形 D をとる。コバノフホモロジー の公理は次のようになる：

1. [ø] = 0 → Z → 0, ここの ø は空の絡み目を表す。
2. [O D] = V ⊗ [D], ここの O は結ばれていない自明な成分を表す。
3. [D] = F(0 → [D₀] → [D₁]{1} → 0)

これらの内の三番目で、F は「平坦化する」作用素を表していて、単体複体は二重複体から、対角に沿って直和をとることで得られる。また、D₀ で D の中のある選ばれた交点の「0-smoothing」を表すとして、D₁ で「1-smoothing」、同じようにすると、カウフマン括弧のスケイン関係式と似た式が得られる。

次に、「正規化された」複体 C(D) = [D][−n₋]{n₊ − 2n₋} を構成する。ここで n₋ は D の選択された図形の中の左手の交叉の数を表し、n₊ は右手の交叉の数を表す。

L の コバノフホモロジー は、この複体 C(D) のホモロジー H(L) である。コバノフホモロジーは実際に L の不変量となっていて、図形の選択には依存しないことが分かる。H(L) 次数付きオイラー標数は、L のジョーンズ多項式であることも分かる。H(L) は、ジョーンズ多項式以上の L の情報を持っていることが示されているが、完全な詳細は未だ完全には理解されていない。

2006年にドロール・バー-ナタン(Dror Bar-Natan)は、任意の結び目のコバノフホモロジー(もしくはカテゴリ)を計算するに十分なコンピュータプログラムを開発した。

関連する理論

コバノフホモロジーでもっとも興味を持たれている側面の一つに、完全系列が形式的に3次元多様体のフレアーホモロジーの完全系列に似ていることである。さらに、ゲージ理論やその類似を使い示すことでのみ、結果を再現することがある。ヤコフ・ラスムッセン(Jacob Rasmussen)のクロンハイマーとムロフカの定理の別の新しい証明があり、これはミルナー予想の証明である（以下を参照のこと）。予想であるが、コバノフホモロジーをピーター・オズバス(Peter Ozsváth)とゾルタン・ザボー(Zoltán Szabó)のフレアーホモロジーに関係づけるスペクトル系列がある（ダンフィールド他の2005年も参照）。別のスペクトル系列 (オズバス-ザボー 2005) は、コバノフホモロジーの変形を結び目に沿った分岐した二重被覆のヒーガードフレアーホモロジーと関係づける。三番目 (ブルーム 2009) は、分岐した二重被覆のモノポールフレアーホモロジーの変形に（コバノフホモロジーが）収束するという結果もある。

コバノフホモロジーはリー代数 sl₂ の表現論に関係する。ミハイル・コバノフとレフ・ロザンスキーはすべての n に対して sl_n に付随するコホモロジー論を定義した。2003年にカサリーナ・ストロッペル(Catharina Stroppel)は、コバノフホモロジーをすべての n について sl_n へ一般化されたタングル（レシェーティキン-トゥラエフ不変量のカテゴリ化されたバージョン）の不変量に関係付けた。

ポール・ザイデル(Paul Seidel)とイワン・スミス(Ivan Smith)は、ラグランジアン交叉フレアーホモロジーを使い、単一の次数付き結び目ホモロジー論を構成しました。そこでは、単一次数付きのコバノフホモロジーは同型であろうと予想されている。シプリアン・マノレスク(Ciprian Manolescu)は、この構成を単純化し、どうするとザイデル-スミス不変量(Seidel-Smith invariant)の彼のバージョンを元にして鎖複体からのジョーンズ多項式を再現できるかを示した。

結び目（絡み目）多項式との関係

2006年の国際数学者会議でミハイル・コバノフは、コバノフホモロジーの観点より、結び目多項式の関係の説明を提案した。 3つの絡み目 $L_{1},L_{2}$, $L_{3}$ のスケイン関係式は、次のようになる。

$\lambda P(L_{1})-\lambda ^{-1}P(L_{2})=(q-q^{-1})P(L_{3}).$

この式に $\lambda =q^{n},\ n\leq 0$ と代入すると絡み目多項式不変量 $P_{n}(L)\in \mathbb {Z} [q,q^{-1}]$ が導かれる。この式で、$n>0$ に対し、次のように正規化する。

$P_{n}(unknot)=q^{n-1}+q^{n-3}+\cdots +q^{1-n}$

また、$P_{0}(unknot)=1$ とする。$n>0$ について、多項式 $P_{n}(L)$ は、量子群 $sl(n)$ の表現論を通して解釈することができ、また $P_{0}(L)$ は、量子リー超代数 $U_{q}(gl(1|1))$ を通して解釈することができる。

アレクサンダー多項式 $P_{0}(L)$ は二重結び目ホモロジー論のオイラー標数である。

$P_{1}(L)=1$ は自明である。

ジョーンズ多項式 $P_{2}(L)$ は二重絡み目ホモロジー論のオイラー標数である。

ホムフリー多項式(HOMFLY多項式、もしくはHOMFLYPT多項式)は、三重次数付き絡み目ホモロジー論のオイラー標数である。

応用

コバノフホモロジーの第一の応用は、ヤコフ・ラスムッセンにより与えられた。彼はコバノフホモロジーを使い、s-不変量を定義し、この結び目の整数に値を持つ不変量は、スライス種数を有限とし、ミルナー予想を証明することができた。

2010年には、クロンハイマー(Peter B. Kronheimer)とムロフカ(Tomasz Mrowka)は、コバノフホモロジーが、自明な結び目か否かを識別することを証明した。カテゴリ化された理論は、カテゴリ化されていない理論よりも多くの情報を持ってる。従って、コバノフホモロジーが自明な結び目か否かを識別するからといって、ジョーンズ多項式が自明な結び目か否かを識別するとは限らない。

参考文献

• Mikhail Khovanov, A categorification of the Jones polynomial, Duke Mathematical Journal 101 (2000) 359–426. arXiv:math.QA/9908171.
• Catharina Stroppel, Categorification of the Temperley-Lieb category, tangles, and cobordisms via projective functors, Duke Mathematical Journal 126 (2005) 547–596.
• Dror Bar-Natan, On Khovanov's categorification of the Jones polynomial, Algebraic and Geometric Topology 2 (2002) 337–370. arXiv:math.QA/0201043.
• Jonathan M. Bloom (2009). "A link surgery spectral sequence in monopole Floer homology". arXiv:0909.0816。
• Nathan M. Dunfield, Sergei Gukov, Jacob Rasmussen (2005). "The Superpolynomial for Knot Homologies". arXiv:math.GT/0505662。
• Ozsváth, Peter and Szabó, Zoltán. On the Heegaard Floer homology of branched double-covers. Adv. Math. 194 (2005), no. 1, 1—33. Also available as a preprint. This paper discusses the spectral sequence relating Khovanov and Heegaard Floer homologies for knots.
• Mikhail Khovanov (2006). "Link Homology and Categorification". arXiv:math.GT/0605339。

外部リンク

• Khovanov homology is an unknot-detector by (Kronheimer) and (Mrowka)
• Hand-written slides of M. Khovanov's talk
• Khovanov homology on arxiv.org
• Khovanov Homology, The Knot Atlas.