ジェネリックフィルター

数学の集合論における、ジェネリックフィルター とは、強制法の理論で使われる対象の一種で、 そのテクニックはいろんな目的に使われるが、特に、何かしらの命題の ZFCのような形式的な理論からの独立性を示すのに使われる。

例えば、ポール・コーエンはZFCが無矛盾であれば 連続体仮説(実数全体の集合の濃度が $\aleph _{1}$ である) を証明することができないということを示すのに使った。 コーエンの証明は、$\aleph _{1}$ の値を変えることなしに、 $\aleph _{1}$ より多くの実数を生成する ジェネリックフィルターを構成することによって為された。

形式的には、P を半順序として、F を P 上のフィルターとする。 すなわち、F は P の部分集合で、

1. F は空でない
2. p,q∈P で、 p≤q で、 p が F の要素なら、q もF の要素(F は上に閉じている)
3. p と q が Fの要素なら、Fの要素rで、r≤p かつ r≤q となるものが存在する。(F の任意の二要素は両立 する。)

を満たす。

D を P の稠密部分集合の族とする。 フィルターF が D-ジェネリック であるとは、F が Dの要素の全てと交わりを持つこと、 すなわち、

$F\cap E\neq \varnothing ,\,$ for all E ∈ D

となることである。

同様に、M がZFCの推移モデル(または、十分なフラグメント)で、 P が M の要素であるとき、F が M上ジェネリックであるとは、 D を P の稠密開部分集合とすると、

$F\cap D\neq \varnothing ,\,$ for all D ∈ M

となることである。

参考

• K. Ciesielski, Set Theory for the Working Mathematician, London Mathematical Society