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ジャコブソン予想

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』

抽象代数学において、ジャコブソン予想 (Jacobson's conjecture) はネーター環のジャコブソン根基のベキの共通部分に関する環論の未解決問題である。

それは今のところネーター環の特別なタイプに対してしか証明されていない。環が一方の側でネーターでないときに予想が成り立たないことを示す例が存在するので、環が両側ネーターであることは絶対に必要である。

予想は予想の最初のバージョンを提出した代数学者 Nathan Jacobson にちなんで名づけられている。

ステートメント

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ジャコブソン根基 J をもつ環 R に対して、非負の冪 Jn はイデアルの積を使って定義される。

ジャコブソン予想： 右かつ左ネーター環において、

言い換えると： "J のすべての冪に入るネーター環の唯一の元は 0 である。"

ジャコブソンによって1956年に[1] 提出されたもともとの予想は非可換片側ネーター環について問うていたが、Herstein は 1965 年に[2] 反例を示し、すぐ後に Jategaonkar が左主イデアル域である別の例を示した[3]。その時以来、予想は両側ネーター環を要求するように再定式化された。

部分的結果

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ジャコブソン予想はネーター環の特定のタイプに対して証明されている：

脚注

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  1. ^ Jacobson, Nathan (1956), Structure of rings, American Mathematical Society, Colloquium Publications, vol. 37, 190 Hope Street, Prov., R. I.: American Mathematical Society, p. 200, MR0081264 . As cited by Brown, K. A.; Lenagan, T. H. (1982), “A note on Jacobson's conjecture for right Noetherian rings”, Glasgow Mathematical Journal 23 (1): 7–8, doi:10.1017/S0017089500004729, MR641612 .
  2. ^ Herstein 1965.
  3. ^ Jategaonkar 1968.
  4. ^ Cauchon 1974.
  5. ^ Jategaonkar 1974.
  6. ^ Lenagan 1977.
  7. ^ Jategaonkar 1982.

参考文献

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  • Cauchon, Gérard (1974), “Sur l'intersection des puissances du radical d'un T-anneau noethérien” (French), C. R. Acad. Sci. Paris Sér. A 279: 91–93, MR0347894 
  • Goodearl, K. R.; Warfield, R. B., Jr. (2004), An introduction to noncommutative Noetherian rings, London Mathematical Society Student Texts, 61 (2 ed.), Cambridge: Cambridge University Press, pp. xxiv+344, ISBN 0-521-54537-4, MR2080008 
  • Herstein, I. N. (1965), “A counterexample in Noetherian rings”, Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A. 54: 1036–1037, doi:10.1073/pnas.54.4.1036, ISSN 0027-8424, MR0188253 
  • Jategaonkar, Arun Vinayak (1968), “Left principal ideal domains”, J. Algebra 8: 148–155, doi:10.1016/0021-8693(68)90040-9, ISSN 0021-8693, MR0218387 
  • Jategaonkar, Arun Vinayak (1974), “Jacobson's conjecture and modules over fully bounded Noetherian rings”, J. Algebra 30: 103–121, doi:10.1016/0021-8693(74)90195-1, ISSN 0021-8693, MR0352170 
  • Jategaonkar, Arun Vinayak (1982), “Solvable Lie algebras, polycyclic-by-finite groups and bimodule Krull dimension”, Comm. Algebra 10 (1): 19–69, doi:10.1080/00927878208822700, ISSN 0092-7872, MR674687 
  • Lenagan, T. H. (1977), “Noetherian rings with Krull dimension one”, J. London Math. Soc. (2) 15 (1): 41–47, ISSN 0024-6107, MR0442008 
  • Rowen, Louis H. (1988), Ring theory. Vol. I, Pure and Applied Mathematics, 127, Boston, MA: Academic Press Inc., pp. xxiv+538, ISBN 0-12-599841-4, MR940245 
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